În algebra abstractă, corpul fracțiilor unui domeniu de integritate[1][2][3] este cel mai mic corp în care acesta poate fi încorporat. Construcția corpului fracțiilor este modelată pe relația dintre domeniul de integritate al numerelor întregi și corpul numerelor raționale. Intuitiv, este format din raporturi între elementele domeniului de integritate.

Corpul fracțiilor din este uneori notat cu sau iar construcția este uneori numită corp de fracții[4][5], corpul coeficienților[6][7] sau corp de coeficienți[8]. Toate aceste denumiri nu trebuie confundate cu factorizarea inelului factor printr-un ideal al său[9][10], care este o noțiune diferită. Pentru un inel comutativ care nu este un domeniu de integritate, o construcție asociată este localizarea sau inelul de coeficienți[11].

Definiție

modificare

Fiind dat un domeniu d integritate   Se definește relația de echivalență pe   lăsând   oricând  . Se notează clasa de echivalență a   cu fracția  . Această noțiune de echivalență este motivată de numerele raționale  , care au aceeași proprietate față de inelul întregilor subiacent  .

Atunci corpul fracțiilor este mulțimea   cu adunarea dată de   și înmulțirea dată de  

Se poate verifica că aceste operații sunt bine definite și că, pentru orice domeniu de integritate  ,   este într-adevăr un corp. În special pentru  , inversul înmulțirii lui   este așa cum era de așteptat:  .

Încorporarea   în   aplică fiecare   din   pe fracția   pentru orice   diferit de zero (clasa de echivalență este independentă de opțiunea  ). Aceasta este modelată pe identitatea  .

Corpul fracțiilor lui   este caracterizat prin următoarea proprietate universală:

dacă   este un omomorfism de inele injectiv al   pe corpul  , atunci există un omomorfism de inele unic   care extinde  .

Există o interpretare categorială a acestei construcții. Fie   categoria domeniilor de integritate și a aplicațiilor inelului injectiv. Functorul lui   la categoria corpurilor care asociază oricare domeniu de integritate cu corpul său al fracțiilor și oricare omomorfism la aplicația indusă pe corpuri (care există prin proprietatea universală) este adjunctul la stânga al subcategoriei categoriei corpurilor pe  . Astfel, categoria corpurilor (care este o subcategorie completă) este o subcategorie reflexivă a lui  .

Pentru domeniul de identitate nu este necesar un element neutru; această construcție poate fi aplicată oricărui inel nenul comutativ rng   fără niciun divizor al lui zero. Încorporarea este dată de   pentru orice   diferit de zero.[12]

  • Corpul fracțiilor inelului întregilor este corpul numerelor raționale,  .
  • Fie   inelul întregilor gaussieni. Atunci   este corpul numerelor raționale gaussiene.
  • Corpul fracțiilor unui corp este izomorf cu corpul însuși.
  • Fiind dat corpul  , corpul fracțiilor inelului de polinoame unui   nedeterminat (care este un domeniu de integritate), se numește corpul funcțiilor raționale sau corpul fracțiilor raționale[13][14][15] și este notat  .
  1. ^ Programă Concursul Național Studențesc de Matematică Traian Lalescu Arhivat în , la Wayback Machine., Alba Iulia: Universitatea „1 Decembrie 1918”, 2013, accesat 2021-07-18
  2. ^ Syllabus: Algebră 3, Cluj-Napoca: Universitatea „Babeș-Bolyai”, Facultatea de Matematică și Informatică, 2007, accesat 2021-07-18
  3. ^ Loredana Teleaga, Inele și corpuri: Noțiuni de algebră superioară, Bacău: Ed. Rovimed, 2012, p. 72, accesat 2021-07-18
  4. ^ Brândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, ISBN: 978-606-760-040-7, p. 75
  5. ^ Aurelian Claudiu Volf, Structuri algebrice și aplicații, Iași: Universitatea „Al. I. Cuza”, 2004 (actualizat 2007), p. 6, accesat 2021-07-18
  6. ^ Bușneag, Piciu, Lecții de algebră, p. 244
  7. ^ Ion D. Ion ș.a., Matematică: Manual pentru clasa a XII-a, M2 Arhivat în , la Wayback Machine., București: Ed. Sigma, 2007, ISBN: 978-973-649-365-2, p. 82
  8. ^ Horváth, Introducere…, p. 161
  9. ^ Tiberiu Dumitrescu, Algebra 1, București: 2006, p. 70, accesat 2021-07-18
  10. ^ Bușneag, Piciu, Lecții de algebră, p. 173
  11. ^ Horváth, Introducere…, p. 19
  12. ^ en Hungerford, Thomas W. (). Algebra (ed. Revised 3rd). New York: Springer. pp. 142–144. ISBN 3540905189. 
  13. ^ en Ėrnest Borisovich Vinberg (). A course in algebra. p. 131. 
  14. ^ en Stephan Foldes (). Fundamental structures of algebra and discrete mathematics . John Wiley & Sons. p. 128. 
  15. ^ en Pierre Antoine Grillet (). Abstract algebra. p. 124. 

Bibliografie

modificare