Împărțirea cu zero

Acest articol se referă la conceptul din matematică și excepția din computing. Pentru alte sensuri, vedeți Împărțirea cu zero (dezambiguizare).

Împărțirea cu zero sau împărțirea la zero este împărțirea în care împărțitorul (sau divizorul) este zero.

Graficul indică reprezentarea diagramei ale limitelor care se apropie de infinit
Funcția y = 1/x este reprezentată în această diagramă. Pe măsură ce x se apropie de 0 din dreapta, y tinde la plus infinit. Similar, pe măsură ce x se apropie de 0 din stânga, y tinde la minus infinit.

Formal, o astfel de împărțire poate fi exprimată sub forma unei fracții de tipul a/0, unde a este numărătorul fracției sau deîmpărțitul operației. În aritmetica elementară, expresia reprezentând împărțirea la zero nu are sens, întrucât nu există niciun număr care multiplicat cu zero să dea rezultatul a (pentru orice a nenul, ori a ≠ 0). Ca atare, împărțirea la zero este o operație nedefinită.

Din moment ce orice număr înmulțit (multiplicat) cu zero este zero, expresia 0/0 este de asemenea nedefinită, iar atunci când se prezintă sub forma unei limite, devine una din formele de nedeterminare.

Istoric, una dintre cele mai timpurii referințe la imposibilitatea matematică de a conferi o valoare exactă operației reprezentate de împărțirea cu zero (a/0) este conținută în lucrarea lui George Berkeley din 1734, The Analyst ("ghosts of departed quantities" - „fantome ale cantităților pierdute”), o lucrare critică la adresa calcului infinitezimal.[1]

Există structuri matematice în care operația a/0 este definită pentru unele din numerele "a", așa cum ar fi în sfera Riemann și linia reală extinsă proiectiv; totuși, astfel de structuri nu pot satisface nici o regulă obișnuită din aritmetică (vezi axiome pentru corpuri).

În computing, o eroare de program poate rezulta dintr-o încercare de a diviza cu zero. În funcție de mediul de programare și de tipul numărului (de exemplu, în cazul virgulei mobile sau a unui număr întreg) este împărțit la zero, poate genera infinit (pozitiv sau negativ infinit) de către standardul de virgulă mobilă numit IEEE 754, generează prin excepție un mesaj de eroare, care este cauza terminării programului, rezultând o valoare specială precum o valoare de tipul „nu-un-număr”, sau o „înghețare” via unei bucle infinite sau ca rezultat al unui crash.

Aritmetica elementarăModificare

Atunci când diviziunea este explicată la nivelul aritmeticii elementare, este adesea considerată divizarea unui mulțimi de obiecte în părți egale.

Spre exemplu, având zece fursecuri la dispoziție și aceste prăjiturele să fie distribuite în mod egal unui număr de cinci persoane, aflate la o masă. Fiecare persoană ar primi 10/5 = 2 fursecuri. În mod similar, dacă există zece fursecuri și doar o singură persoană la masă, acea persoană ar primi 10/1 = 10 fursecuri, deci toate cele 10 fursecuri.

Deci, pentru împărțirea la zero, întrebarea devine „Care este numărul de fursecuri pe care fiecare persoană le primește atunci când cele 10 fursecuri sunt distribuite în mod egal între 0 persoane, aflate la o masă?” Anumite cuvinte pot fi identificate în întrebare pentru a evidenția problema. Problema cu această întrebare este "când". Nu există nici o modalitate de a distribui 10 prăjiturele nimănui. În jargonul matematic, un set de 10 elemente nu poate fi partiționat în subseturi (submulțimi) de 0 elemente. Deci 10/0, cel puțin în aritmetica elementară, se consideră a fi fie lipsit de sens, fie nedefinit.

AlgebrăModificare

Împărțirea ca operație inversă înmulțiriiModificare

Sofisme - Imposibilități - Demonstrații greșiteModificare

Pentru mai multe detalii despre acest subiect, vedeți Demonstrație greșită.

Un motiv convingător pentru a nu permite divizarea prin zero este că, dacă ar fi permis, vor apărea multe rezultate absurde (adică falsități sau demonstrații greșite. Când se lucrează cu cantități numerice, este ușor să se determine când se face o încercare nepermisă de a diviza prin zero. De exemplu, luați în considerare următoarele două „demonstrații” de mai jos, ambele încercând a „convinge” că 1 = 2 (!?).

Prima „demonstrație”Modificare

Dându-se cele de mai jos:

 

următoarea egalitate este adevărată:

 

Divizând ambii membri ai egalității cu zero, se obține:

 

După simplificare, se obține ... absurdul:

 

Imposibilitatea aici, care conduce la absurditate, este că împărțirea la zero este o operație permisă, cu aceleași proprietăți ca și împărțirea cu orice alt număr nenul.

A doua „demonstrație”Modificare

Oricum, este posibil să se „mascheze” o împărțire cu zero într-o formă de „disimulare” algebrică, care conduce invariant la un alt tip de demonstrație greșită, care „demonstrează” (din nou) că 1 = 2, precum în cele ce urmează mai jos.[2]

Să considerăm egalitatea 1 = x.
Multiplicând ambii membri cu x se obține,
 
Scăzând 1 din ambele părți ale egalității, se obține,
 
Divizând ambii membri cu binomul x − 1
 
se obține, după simplificare,
 
Dar, din moment ce x = 1,
 

Imposibilitatea efectuării operației de împărțire cu zero, aici, este mascată în pasul împărțirii cu binomul x − 1 = 0 când, de fapt, x = 1 și binomul împărțitor este zero.

În analiza matematicăModificare

Din punctul de vedere al analizei matematice, nedefinirea unei împărțiri la zero poate fi studiată în cadrul conceptului de limită matematică. Să presupunem că avem următoarea expresie:

  unde  

Apoi, pentru a analiza valoarea  , se poate folosi o aproximare a limitei, pe partea pozitivă:

 

și apoi pe ramura negativă,

 

Când valoarea argumentului   «tinde» la zero, fracția   atinge o valoare foarte mare (pozitivă sau negativă).

Concluzie: când   «tinde» la zero, expresia   se «apropie» de infinit.

Expresia   indică faptulfracția este una din cazurile de nedeterminare.

Alte articole conexeModificare

NoteModificare

  1. ^ Cajori, Florian (), „Absurdities due to division by zero: An historical note”, The Mathematics Teacheru, 22 (6): 366–368, JSTOR 27951153 .
  2. ^ Bunch 1997, p. 15.

BibliografieModificare

La Wikiștiri găsiți reportaje referitoare la [[n:{{{nume}}}|{{{nume2}}}]]

Legături externeModificare