Apeirotop
Un apeirotop sau politop infinit este generalizarea unui politop care are un număr infinit de fețe.
Definiție
modificareApeirotop abstract
modificareUn 𝘯-politop abstract(d) este o mulțime parțial ordonată(d) P (ale cărei elemente se numesc fețe) astfel încât P conține fețele de cel mai mic și cel mai mare rang, fiecare submulțime maximă total ordonată (numită steag) conține exact n + 2 fețe, P este tare conex și există exact două fețe care se află strict între a și b, care sunt două fețe ale căror ranguri diferă cu doi.[1][2] Un poliop abstract s numește apeirotop abstract dacă are un număr infinit de fețe.[3]
Un politop abstract este regulat dacă grupul său de automorfisme Γ(P) acționează tranzitiv pe toate steagurile lui P.[4]
Clasificare
modificareExistă două clase principale de apeirotopuri:[5]
- faguri n-dimensionali, care umplu complet spațiul n-dimensional;
- apeirotopuri nealiniate, cuprinzând varietăți n-dimensionale din spații cu dimensiuni superioare.
Faguri
modificareÎn general, un fagure n-dimensional este un exemplu infinit de politop în spațiul (n+1)-dimensional.
Pavarea planului și împachetările spațiale compacte ale poliedrelor sunt exemple de faguri în două, respectiv trei dimensiuni.
O dreaptă împărțită în infinit de multe segmente finite este un exemplu de apeirogon.
Apeirotopuri nealiniate
modificareApeirogoane necoliniare
modificareUn apeirogon necoliniar bidimensional formează în plan o linie în zigzag. Dacă zigzagul este uniform și simetric, atunci apeirogonul este regulat.
Apeirogoanele necoliniare pot fi construite în orice număr de dimensiuni. În trei dimensiuni, un apeirogon elicoidal trasează o elice și poate fi fie pe stânga, fie pe dreapta.
Poliedre infinite nealiniate
modificareExistă trei apeiroedre nealiniate regulate, care arată ca un burete de poliedre:
- 6 pătrate în jurul fiecărui vârf, simbol Coxeter {4,6|4};
- 4 hexagoane în jurul fiecărui vârf, simbol Coxeter {6,4|4};
- 6 hexagoane în jurul fiecărui vârf, simbol Coxeter {6,6|3}.
Există treizeci de apeiroedre regulate în spațiul euclidian.[6] Acestea includ pe cele enumerate mai sus, precum și (în plan) politopuri de tip: {∞,3}, {∞,4}, {∞,6} și în spațiul tridimensional, amestecuri ale acestora fie cu un apeirogon, fie un segment și apeiroedre tridimensionale „pure” (12 la număr).
Note
modificare- ^ McMullen & Schulte (2002), pp. 22–25.
- ^ McMullen (1994), p. 224.
- ^ McMullen & Schulte (2002), p. 25.
- ^ McMullen & Schulte (2002), p. 31.
- ^ Grünbaum (1977).
- ^ McMullen & Schulte (2002, Section 7E)
Bibliografie
modificare- en Grünbaum, B. (). „Regular Polyhedra—Old and New”. Aeqationes mathematicae. 16: 1–20.
- en McMullen, Peter (), „Realizations of regular apeirotopes”, Aequationes Mathematicae, 47 (2-3): 223–239, doi:10.1007/BF01832961, MR 1268033
- en McMullen, Peter; Schulte, Egon (), Abstract Regular Polytopes
, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 92, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511546686, ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665
