Axă mediană

Axa mediană a unui obiect este mulțimea tuturor punctelor care au mai mult de un punct „cel mai apropiat” de pe frontiera obiectului. Denumită inițial „scheletul topologic”, noțiunea a fost introdusă în 1967 de Harry Blum^[1] ca instrument de recunoaștere a formei biologice.

a) Imagine 3D a unui obiect simplu.
b) Culorile reprezintă distanța de la axa mediană până la marginile obiectului.

Descriere

În spațiul bidimensional axa mediană a unei submulțimi S care este mărginită de curba plană C este locul centrelor cercurilor care sunt tangente la curba C în două sau mai multe puncte, iar toate aceste cercuri sunt cuprinse în S. (De aici rezultă că axa mediană în sine este conținută în S.) Axa mediană a unui poligon simplu este un graf arborescent ale cărui frunze sunt vârfurile poligonului și ale cărui muchii sunt fie segmente drepte, fie arce de parabole.

Axa mediană împreună cu funcția razei asociate a discurilor maxime înscrise se numește „transformarea axei mediane” (în engleză medial axis transform – MAT). Transformarea axei mediane este un descriptor complet al formei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru a reconstrui forma domeniul original.

Axa mediană este o submulțime a mulțimii simetricelor, care este definită similar, cu excepția faptului că include și cercuri care nu sunt conținute în S. (Deci, mulțimea simetricelor lui S se extinde în general la infinit, similar cu diagrama Voronoi^⁠(d) a unei mulțimi de puncte.)

Axa mediană se generalizează la hipersuprafețe de dimensiunea k prin înlocuirea cercurilor cu hipersfere de dimensiune k. Axa mediană în 2D este utilă pentru recunoașterea optică a caracterelor și a obiectelor, în timp ce axa mediană în 3D are aplicații în reconstrucția suprafeței^⁠(d) la modele fizice și pentru scalarea modelelor complexe. În orice dimensiune axa mediană a unei mulțimi deschise mărginite este omotopă^⁠(d) cu mulțimea dată.^[2]

Dacă S este dată într-o formă parametrică în funcție de timp $\gamma :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}$ , iar ${\underline {T}}(t)={d\gamma \over dt}$ este versorul tangent în fiecare punct, atunci va exista un cerc bitangent cu centrul c și raza r dacă

(c-\gamma (s))\cdot {\underline {T}}(s)=(c-\gamma (t))\cdot {\underline {T}}(t)=0

și

|c-\gamma (s)|=|c-\gamma (t)|=r.

Pentru majoritatea curbelor mulțimea simetriilor va forma o curbă unidimensională și poate conține puncte de întoarcere. Mulțimea simetriilor are puncte de capăt corespunzătoare vârfurilor lui S.

Note

^ en Blum, Harry (1967). „A transformation for extracting new descriptors of shape”. În Wathen-Dunn, Weiant. Models for the Perception of Speech and Visual Form (PDF). Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 362–380.
^ en Lieutier, André (septembrie 2004). „Any open bounded subset of $\mathbb {R} ^{n}$ has the same homotopy type as its medial axis”. Computer-Aided Design. 36 (11): 1029–1046. doi:10.1016/j.cad.2004.01.011.

Bibliografie

en Leymarie, Frederic F.; Kimia, Benjamin B. (2008). „From the Infinitely Large to the Infinitely Small”. Computational Imaging and Vision. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-1-4020-8658-8_11. ISBN 978-1-4020-8657-1. ISSN 1381-6446.
en Tagliasacchi, Andrea; Delame, Thomas; Spagnuolo, Michela; Amenta, Nina; Telea, Alexandru (2016). „3D Skeletons: A State-of-the-Art Report” (PDF). Computer Graphics Forum. Wiley. 35 (2): 573–597. doi:10.1111/cgf.12865. ISSN 0167-7055.

Legături externe

en The Scale Axis Transform – a generalization of the medial axis
en Straight Skeleton for polygon with holes – Straight Skeleton builder implemented in java.
en Multi-layered medial axis – a generalization of the medial axis (for e.g. representing an airport or a multi-storey building)

Portal Matematică

[1] Blum, Harry (1967). „A transformation for extracting new descriptors of shape”. În Wathen-Dunn, Weiant. Models for the Perception of Speech and Visual Form (PDF). Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 362–380.

[2] Lieutier, André (septembrie 2004). „Any open bounded subset of $\mathbb {R} ^{n}$ has the same homotopy type as its medial axis”. Computer-Aided Design. 36 (11): 1029–1046. doi:10.1016/j.cad.2004.01.011.

[1]

[2]