Concoida lui de Sluze

În geometria algebrică concoidele lui de Sluze sunt o familie de curbe plane studiate în 1662 de matematicianul valon René François Walter, baron de Sluze.

Concoida lui de Sluze pentru câteva valori ale lui a

Definiție

Curbele sunt definite de ecuația în coordonate polare

$r=\sec \theta +a\cos \theta .$

În coordonate carteziene curbele satisfac ecuația implicită^⁠(d)

$(x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,$

cu excepția cazului a = 0, forma implicită are un punct izolat în (0,0), care nu este prezent în forma polară.

În formă parametrică pot fi scrise sub forma

$x=(\sec t+a\cos t)\cos t$

$y=(\sec t+a\cos t)\sin t$

Sunt curbe raționale^⁠(d), circulare, cubice^⁠(d).

Aceste expresii au pentru a ≠ 0 o asimptotă x = 1. Punctul cel mai îndepărtat de asimptotă este (1 + a, 0). Pentru a < −1 (0,0) este un nod.

Pentru a ≥ −1 aria dintre curbă și asimptotă este

$|a|(1+a/4)\pi \,$

în timp ce pentru a < −1 aria este

$\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.$

Dacă a < −1, curba va avea o buclă. Aria buclei este

$\left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.$

Patru dintre curbe au nume proprii:

• a = 0, dreaptă (asimptota restului curbelor din familie);
• a = −1, cisoida lui Diocles^⁠(d);
• a = −2, strofoida^⁠(d) dreaptă;
• a = −4, trisectoarea lui Maclaurin

Curbe înrudite

Asemănătoare cu concoida lui de Sluze este concoida lui Nicomede, a cărei ecuație în coordonate polare este:

$r=a\sec \theta +b.$

Legături externe

• en Curves: Conchoid of de Sluze la MacTutor