Trisectoarea lui Maclaurin

În geometria algebrică trisectoarea lui Maclaurin este o curbă plană cubică notabilă pentru proprietatea sa de a diviza în trei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru trisecțiunea unui unghi.^[1] Poate fi definită ca locul geometric al punctului de intersecție a două drepte^⁠(d), fiecare rotindu-se cu o viteză unghiulară uniformă în jurul punctelor lor fixe, separate, astfel încât raportul vitezelor de rotație să fie 1:3 iar dreptele coincid inițial cu dreapta care trece prin cele două puncte.^[2] O generalizare a acestei construcții se numește curbă divizoare a lui Maclaurin. Curba poartă numele lui Colin Maclaurin care a studiat curba în 1742.^[3]^[4]

Ecuații

Fie două drepte care se rotesc în jurul punctelor $P=(0,0)$ și $P_{1}=(a,0)$ astfel încât, atunci când dreapta care se rotește în jurul punctului său fix $P$ formează cu axa Ox unghiul $\theta$ , iar dreapta care se rotește în jurul punctului său fix $P_{1}$ formează cu axa Ox unghiul $3\theta$ . Dacă $Q$ este punctul de intersecție al dreptelor, atunci unghiul format de drepte în $Q$ este $2\theta$ . Din teorema sinusurilor,

{r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }

rezultă ecuația în coordonate polare, care este (fără ca axele să fie translate sau rotite)

r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )

.

Prin urmare, curba este un membru al familiei de concoide ale lui de Sluze.

În coordonate carteziene ecuația acestei curbe este^[4]

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

.

Dacă originea este mutată în ( $a$ , $0$ ), atunci un raționament similar cu cel de mai sus arată că ecuația curbei în coordonate polare devine

r=2a\cos {\theta  \over 3},

fiind un exemplu de „melc” cu o buclă.

Proprietatea de a fi o trisectoare

Trisectoarea lui Maclaurin demonstrând proprietatea de a trisecta unghiurile

Din punctul $(a,0)$ se trasează o dreaptă care formează cu axa $Ox$ unghiul $\phi$ . Din origine se trasează o dreaptă prin punctul unde dreapta precedentă intersectează curba. Atunci, prin construcția curbei, unghiul dintre a doua dreaptă și axa $Ox$ este $\phi /3$ .^[2]

Puncte și caracteristici notabile

Curba are o intersecție cu axa Ox în $3a \over 2$ și un punct dublu în origine. Dreapta verticală $x={-{a \over 2}}$ este o asimptotă. Curba intersectează dreapta $x = a$ sau punctul corespunzător trisecțiunii unui unghi drept, în $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})$ . Ca o cubică nodală, este de genul zero.