Funcție algebrică de gradul al treilea

Acest articol tratează funcția cubică de o variabilă. Pentru funcția de două variabile, vedeți articolul curbă eliptică.

În matematică, prin funcție algebrică de gradul al treilea sau, mai scurt, funcție cubică se înțelege orice funcție polinomială de următoarea formă:

Graficul unei funcții cubice în cazul a trei rădăcini reale prezintă trei intersecții cu abscisa (axa ox pentru y = 0) , având două puncte critice, un minim și un maxim, ambele locale, dar nu absolute. Intersecția funcției cu ordonata este numeric egală cu termenul liber d.

în care singura condiție obligatorie se referă la coeficientul a, care trebuie să nu fie zero. Altfel spus, o funcție cubică este echivalentă cu un polinom de grad trei în care studiul variabilei dependente (funcția) față de variabila independentă (argumentul) este importantă.

Derivata unei funcții cubice este o funcție de grad mai mic cu o unitate, funcția cuadratică (gradul doi), respectiv rezultatul operației inverse derivării funcției, integrala sa este o funcție de grad mai mare cu o unitate, funcția cuadrică, (grad patru).

Cazul studiului zero-urilor funcției cubice se rezolvă prin egalarea ƒ(x) = 0 și condiționarea coeficientului a să fie ne-nul (a ≠ 0) produce o ecuație cubică de forma

De obicei coeficienții a, b,c, d sunt numere reale, dar pot fi și numere complexe. Oricum, mare parte a teoriei este valabilă atât pentru coeficienți reali cât și pentru cei complecși, cu mici diferențe.

Rezolvarea unei ecuații cubice se reduce la aflarea rădăcinilor sau zero-urilor funcției (vedeți imaginea). Există două metode generale de aflare a zero-urilor cubicei. Una dă soluții exacte, implicând combinații de numere iraționale conținând rădăcini de ordinul doi și trei combinând numerele a, b, c și d, coeficienții funcției cubice. Cea de-a doua este aproximativă întrucât este numerică, exprimând cele trei rădăcini ca trei numere reale sau ca un număr real și două complexe. În acest caz, valorile numerice ale rădăcinilor pot fi obținute printr-un algoritm de tipul metodei lui Newton.

IstoricModificare

Ecuațiile de gradul 3 (sau „cubice”) au fost descoperite pentru prima dată de matematicianul grec Diophantus;[1], dar erau cunoscute chiar mai devreme de matematicieni din Babilonul antic, care cunoșteau rezolvarea unor ecuații cubice particulare;[2] și deasemeni de egiptenii antici. Dublarea cubului este cea mai simplă și veche ecuație cubică studiată, și una din ecuațiile pe care egiptenii antici o considerau imposibil de rezolvat.

Leonardo de Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci (1170–1250), a putut să găsească soluția pozitivă a ecuației cubice x3+2x2+10x = 20, utilizând numeralele babiloniene. El a obținut rezultatul 1,22,7,42,33,4,40 care este echivalent cu: 1+22/60+7/602+42/603+33/604+4/605+40/606.[3]

DerivateModificare

Prin formula de cuadratură, rădăcinile derivatei:

 ,

sunt date de formulele:

 

și reprezintă punctele critice, unde panta funcției cubice este zero. Dacă b2-3ac>0, atunci funcția de cubică are un maxim local și un minim local. Dacă b2-3ac=0, funcția cubică are un punct de inflexiune, care nu este nici de maxim, nici de minim. Dacă b2-3ac<0, atunci nu are niciun punct critic; în acest caz, b2-3ac≤0, iar funcția cubică este strict monotonă.

Ecuația algebrică de gradul al treileaModificare

Forma generală a unei ecuații cubice (de gradul trei) este:

 

unde  

În această secțiune se descrie modul în care rădăcinile unei astfel de ecuații pot fi aflate. Coeficienții   pot fi numere reale sau complexe.

Natura rădăcinilorModificare

Orice ecuație cubică (1), cu coeficienți reali are cel puțin o soluție reală x, ceea ce este o consecință a teoremei valorii intermediare. Există următoarele 3 cazuri, în funcție de semnul discriminantului:

  [4]
  • Dacă Δ > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale distincte.
  • Dacă Δ = 0, atunci ecuația are o rădăcină multiplă și toate rădăcinile ei sunt reale.
  • Dacă Δ < 0, atunci ecuația are o rădăcină reală și două rădăcini complexe nereale conjugate.

Vezi și multiplicitatea rădăcinilor unui polinom.

Formula generală de aflare a rădăcinilorModificare

Pentru ecuația cubică generală (1), cu coeficienți reali, formula generală de calcul a rădăcinilor în funcție de coeficienți, este după cum urmează, dacă  , altfel ecuația are două rădacini complexe nereale.

 

Totuși, această formulă nu se verifică, dacă operandul din rădăcina pătrată este negativ sau în cazul în care coeficienții aparțin unui domeniu care nu este inclus în domeniul numerelor reale. Atunci când această operand este real și pozitiv, rădăcinile cubice sunt reale și bine definite. În alt caz, rădăcina pătrată nu este reală și trebuie să alegem una din cele două rădăcini complexe, de exemplu, cea care are o parte imaginară pozitivă. Pentru extragerea de rădăcinile cubice, avem, de asemenea, de a alege o determinare pentru rădăcinile cubice, și acest lucru dă nouă valori posibile pentru prima rădăcină dintr-o ecuație care are doar trei rădăcini.

O soluție corectă poate fi obținută din proprietatea că produsul celor două rădăcini cubice este rațional. Acest lucru dă următoarea formulă, în care:

  sau   are loc pentru orice determinare a rădăcinii pătrate sau cubice, în cazul în care  

 

Dacă   și  , semnul lui   a fost ales pentru a avea  .

Dacă   și  , cele 3 rădăcini sunt egale:

 

Dacă   și  , expresia de mai sus pentru a rădăcinilor este corectă, dar ascunde faptul că nu este necesar niciun radical pentru a reprezenta rădăcinile. De fapt, în acest caz, există o rădăcină dublă:

 
și o rădăcină simplă:
 

Următoarele secțiuni descriu modul în care aceste formule pot fi obținute.

Reducerea ecuației la un trinomModificare

Împărțind ecuația (1) cu   și înlocuind   cu   (transformarea Tschirnhaus) obținem ecuația:

 

unde

 

Orice formulă pentru rădăcinile ecuației (2) poate fi transformată într-o formulă pentru rădăcinile ecuației (1) înlocuind:   și   prin valorile de mai sus, și folosind relația  .

Prin urmare, în secțiunea următoare ne vom referi numai la ecuații de forma (2).

Metoda CardanoModificare

Soluțiile pot fi găsite cu următoarea metodă, datorită lui Scipione del Ferro și Tartaglia, publicată de Gerolamo Cardano în 1545.[5]

Vom aplica în primul rând reducerea la un trinom din secțiunea precedentă, obținând o ecuație de forma:

 

Introducem două variabile, u și v, legate prin condiția:

 

iar înlocuind în relația (2), obținem:

 .

În continuare, Cardano a impus o condiție secundară pentru variabilele u și v:

 .

Astfel, prima paranteză dispare în (3), și obținem   și  .

Rezultă că   și   sunt cele două rădăcini ale ecuației de gradul 2:

 

În acest moment, Cardano, care nu cunoștea numerele complexe, presupunea că rădăcinile acestei ecuații au fost reale, rezultă că:  

Rezolvând această ecuație și folosind faptul că   și   pot fi schimbate între ele, obținem:

  and  .

Deoarece aceste expresii sunt reale, rădăcinile lor cubice sunt bine definite și, la fel ca și Cardano, obținem:

 

Cele două rădăcini complexe sunt obținute prin același raționament; faptul că   este real implică faptul că acestea sunt obținute prin înmulțirea uneia dintre rădăcinile cubice de mai sus cu   și a celeilalte cu by  .

Dacă   nu este necesar pozitiv, trebuie să alegem o rădăcină cubică a lui  . Deoarece nu există nici o modalitate directă de a alege rădăcină cubică a lui  , putem utiliza relația  , de unde rezultă

 

și

 

Observăm că semnul rădăcinii pătrate nu afectează rezultatul  , deoarece această schimbare implică și schimbarea variabilelor   și  . Am ales semnul minus, pentru a avea   atunci când   și  , pentru a evita împărțirea cu zero. Cu această alegere, expresia de mai sus pentru   funcționează întotdeauna, cu excepția cazului când  , în cazul în care al doilea termen devine 0/0. În acest caz,   este o rădăcină triplă.

Observăm, de asemenea, că, în unele cazuri, soluțiile sunt exprimate cu mai puțini radicali pătratici sau cubici.

Dacă   avem rădăcina reală triplă
 
Dacă   și   atunci
  și cele 3 rădăcini sunt rădăcinile cubice ale lui  .
Dacă   și  
 
atunci cele 3 rădăcini sunt:
 
unde
 
În sfârșit, dacă  , există o rădăcină dublă și una simplă, care pot fi exprimate rațional, în funcție de  , dar această expresie nu poate fi dedusă imediat din formula generală:
 

Pentru a trece de la aceste rădăcini ale lui   în ecuația (2) la formula generală pentru rădăcinile lui   în ecuația (1), scădem   și înlocuim   și   prin expresiile lor în  .

Metoda LagrangeModificare

În lucrarea sa Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Joseph Louis Lagrange a introdus o nouă metodă de rezolvare a ecuațiilor de grad mic. Această metodă lucrează bine pentru ecuațiile de gradul 3 și 4, dar Lagrange nu a reușit să o aplice pentru ecuațiile de gradul 5, deoarece aceasta ar implica rezolvarea unei ecuații polinomiale de grad cel puțin 6. [6][7][8] Acest lucru este explicat de teorema Abel–Ruffini, care demonstrează că nu există o formulă generală de rezolvare a ecuațiilor polinomiale prin radicali. Mai mult, metodele moderne de rezolvare a unor cazuri particulare ale ecuațiillor de gradul 5 se bazează pe metoda lui Lagrange.[8]

Spre deosebire de metoda lui Cardano, metoda lui Lagrange fi aplicată direct la orice ecuație cubică (1) fără a utiliza reducerea la ecuația trinom (2). Cu toate acestea, calculul este mai ușor.

Presupunem că x0, x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației (1) sau (2), și definim  , astfel încât ζ este o rădăcină primitivă de ordin 3 a unității, care satisface relația:  . Notăm:

 
 
 

Aceasta este transformarea Fourier discretă a rădăcinilor: observăm că în timp ce coeficienții polinomului sunt simetrici în rădăcini, în această formulă o ordine a fost aleasă pentru rădăcini, astfel încât acestea nu sunt simetrice. Rădăcinile pot fi apoi recuperate pornind de la formula a treia si prin inversarea transformării liniare de mai sus prin intermediul transformatei Fourier inverse discrete, rezultând:

 
 
 

Polinomul   este un polinom simetric elementar, care în acest caz este egal cu  pentru ecuația(1) și zero pentru ecuația(2), deci avem nevoie doar să caut valorile pentru celelalte două.

Polinoamele   și   nu sunt simetrice, de unde rezultă că   este invariant, în timp ce permutarea ciclică netrivială a rădăcinilor înlocuiește   cu   și   cu  , sau   cu   și   cu   (după cum alegem permutarea), în timp ce transpoziția dintre   și   schimbă între ele expresiile   și  ; alte transpoziții schimbă între ele aceste rădăcini și multiplicitățile lor cu o putere a lui  

Astfel,  ,   și   sunt lăsate invariante de permutările ciclice ale rădăcinilor, care le multiplică cu  . Deasemeni,   și   sunt lăsate invariante de transpoziția dintre   și  . La fel cum grupul permutărilor   al rădăcinilor este generat de aceste permutări, rezultă că   și   sunt funcții polinomiale simetrice ale rădăcinilor, și astfel pot fi scrise ca polinoame de the funcțiile simetrice elementare și, astfel, ca funcție rațională a coeficienților de ecuației.

Fie   și   aceste expresii, care vor fi calculate în continuare.

Știm deja că   și   sunt cele două rădăcini ale ecuației de gradul 2

 

Astfel, rezolvarea ecuației poate fi continuată la fel ca în metoda lui Cardano, cu   și   în locul lui   și  .

Calcularea valorilor A și BModificare

Notând cu  ,   și  , polinoamele elementare simetrice, avem, știind că  :

 

Expresia pentru   este aceeași cu   și   schimbate între ele. Astfel, utilizând faptul că   obținem:

 

și printr-un calcul simplu obținem că

 

Similar, avem:

 

Atunci, rezolvând ecuația (1) avem:

 ,   și  

În ecuația (2), avem  ,   și   prin urmare:

  și  .

Observăm că în ecuația (2), avem   și  , iar în metoda lui Cardano am notat cu:

 

și

 

Astfel, făcând abstracție de schimbarea rolurilor variabilelor   și  , avem:

  și  .

Altfel spus, în acest caz metodele lui Cardano's și Lagrange conduc la același rezultat, până la un factor de trei variabile auxiliare, principala diferență dintre aceste metode fiind că metoda Lagrange explică de ce apar aceste variabile auxiliare.

Metoda trigonometrică și hiperbolicăModificare

Atunci când o ecuație cub are trei rădăcini reale, formulele care exprimă aceste rădăcini, prin radicali implică numere complexe. O reprezentare a acestor rădăcini prin cosinus și arccosinus evită utilizarea numerelor complexe. Formulele care urmează sunt adevărate, în general, (cu excepția cazului când p = 0), dar implică funcțiile cosinus și arccosinus cu argument complex atunci când există doar o singură rădăcină reală.

Pornind de la ecuația (2),

 ,

fie

 

Ideea este de a alege   pentru a înlocui ecuația (2) cu identitatea:

 

De fapt, alegând   Și împărțind ecuația (2) cu   obținem

 

Combinând cu identitatea de mai sus, obținem:

 

și astfel rădăcinile sunt:[9]

 

Această formulă are loc dacă   și argumentul arccosinusului este cuprins între -1 și 1. Ultima condiție este echivalentă cu   care implică deasemeni  . Astfel, formula de mai sus pentru rădăcini are loc dacă și numai dacă toate cele 3 rădăcini sunt reale.

Notând cu   valoarea de deasupra pentru t0 și utilizând inegalitatea   pentru un număr real u astfel încât   cele 3 rădăcini pot fi exprimate astfel:

 

Dacă aceste rădăcini sunt reale, avem:

 

Toate aceste formule pot fi direct transformate în formule pentru rădăcinile ecuației cubice generale (1), prin substituția descrisă în secțiunea de reducere la un trinom monic.


Atunci când există o singură rădăcină reală (și p≠0), acesta poate fi reprezentat în mod similar, folosind funcțiile hiperbolice. [10]

 
 

Dacă p≠0 și inegalitățile din dreapta nu sunt satisfăcute, formulele rămân valide, dar implică numere complexe.

Atunci când  , valorile de mai sus ale lui   sunt uneori numite rădăcina cubică Cebîșev.[11] Mai precis, aceste valori implică funcțiile cosinus și cosinus hiperbolic, atunci când  , aceeași funcție analitică notată  , care este tocmai rădăcina cubică Cebîșev.

Această valoare implică sinusul hiperbolic, notat și cu   dacă  .

FactorizareModificare

Dacă r este orice rădăcină a lui (1), atunci putem factoriza utilizând r pentru a obține

 

Prin urmare, dacă știm o rădăcină, le putem găsi pe celelalte două rezolvând o ecuație de gradul 2, obținând:

 

pentru valorile acestora.

Relațiile lui VièteModificare

  •  
  •  
  •  

Relații între rădăcini și coeficiențiModificare

  •  
  •  
  •  

Alte articole similareModificare

NoteModificare

  1. ^ Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0387121595
  2. ^ British Museum BM 85200
  3. ^ "The life and numbers of Fibonacci" [1], Plus Magazine
  4. ^ Irving, Ronald S. (), Integers, polynomials, and rings, Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-40397-3 , Chapter 10 ex 10.14.4 and 10.17.4, p. 154-156
  5. ^ Jacobson (2009), p. 210.
  6. ^ Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (), Elliptic functions and elliptic integrals, AMS Bookstore, ISBN 978 0 82180587 9 , §6.2, p. 134
  7. ^ Kline, Morris (), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press US, ISBN 978 0 19506136 9 , Algebra in the Eighteenth Century: The Theory of Equations
  8. ^ a b Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2
  9. ^ Shelbey, Samuel (), CRC Standard Mathematical Tables, CRC Press, ISBN 0 87819 622 6 
  10. ^ These are Formulas (80) and (83) of Weisstein, Eric W. 'Cubic Formula'. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html, rewritten for having a coherent notation.
  11. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover (1965), chap. 22 p. 773

ReferințeModificare

  • Anglin, W. S.; Lambek, Joachim (), „Mathematics in the Renaissance”, The Heritage of Thales, Springers, pp. 125–131, ISBN 978-0387945446  Ch. 24.
  • Guilbeau, Lucye (), „The History of the Solution of the Cubic Equation”, Mathematics News Letter, 5 (4): 8–12, doi:10.2307/3027812 
  • Jacobson, Nathan (), Basic algebra, 1 (ed. 2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
  • Nickalls, R. W. D. (noiembrie 1993), „A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed” (PDF), The Mathematical Gazette, 77 (480): 354–359, doi:10.2307/3619777, ISSN 0025-5572, JSTOR 3619777 
  • Henriquez, G., "The graphical interpretation of the complex roots of cubic equations," American Mathematical Monthly 42, June–July 1935, 383-384.
  • Dunnett, R., "Newton-Raphson and the cubic," Mathematical Gazette 78, November 1994, 347-348.
  • Dence, T., "Cubics, chaos and Newton's method," Mathematical Gazette 81, November 1997, 403-408.
  • Holmes, G. C., "The use of hyperbolic cosines in solving cubic polynomials," Mathematical Gazette 86, November 2002, 473-477.
  • Nickalls, R. W. D., "Viète, Descartes and the cubic equation," Mathematical Gazette 90, July 2006, 203-208.
  • Mitchell, D. W., "Solving cubics by solving triangles," Mathematical Gazette 91, November 2007, 514-516.
  • Zucker, I. J., "The cubic equation—A new look at the irreducible case," Mathematical Gazette 92, July 2008, 264-268.
  • Rechtschaffen, E., "Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions," Mathematical Gazette 92, July 2008, 268-276.
  • Mitchell, D. W., "Powers of   as roots of cubics," Mathematical Gazette 93, November 2009.

Legături externeModificare

Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de funcție algebrică de gradul al treilea