Ecuație de gradul al doilea

În matematică, ecuația algebrică de gradul al doilea este o ecuație polinomială de gradul doi.

Gradul ecuației este dat de gradul polinomului, iar soluțiile ecuației algebrice sunt numite rădăcini. Ecuația de gradul doi se numește și ecuație pătratică. [1] [2] [3] Un tip de ecuație asemănător celei de gradul doi este cea de gradul patru cu termenii de grad impar lipsă, denumită ecuație bipătratică.

Forma generalăModificare

Forma generală a ecuației de gradul doi este:

 

unde: x este variabila, iar a, b, și c constantele (a ≠ 0). Dacă constanta a = 0, atunci ecuația devine o ecuație liniară. Constantele a, b, și c sunt denumite astfel:

  • a, coeficientul termenului pătratic
  • b, coeficient termenului liniar
  • c, termen constant sau termen liber

Forma canonicăModificare

Împărțind ecuația inițială prin a, rezultă:  

În această ecuație echivalentă, dacă se notează:   și   se obține forma canonică sau forma normală a ecuației de gradul doi:

  (ecuația este completă sub forma canonică)

Cazuri particulareModificare

  • ecuație incompletă pur pătratică :  
  • ecuație incompletă fără termen liber :  
  • ecuație incompletă pur pătratică fără termen liber :[4]  

Rezolvarea ecuației de gradul doiModificare

Rădăcinile ecuației algebrice de gradul doi se obțin cu ajutorul formulei:

 

Formula rezolvării ecuației de gradul doi a fost dată, în forma actuală, de Michael Stifel în 1544 și își are originea în lucrările lui Brahmagupta și Sridhara. [5]

Relațiile lui VièteModificare

  •  
  •  

Ecuația de gradul al doilea se poate rescrie ca x²-Sx+P=0. Acest fapt provine din împărțirea ecuației inițiale (ax²+bx+c=0) la a.

Alte relații între rădăciniModificare

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

unde   iar  

NoteModificare

  1. ^Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, București, 1980, pag. 102. (traducere după lucrarea în limba germană Kleine Enzyklopädie der Mathematik)
  2. ^Vasile Bobancu, Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974, pag. 92.

Legături externeModificare

Vezi șiModificare