Cuadrică Klein

În matematică dreptele unui spațiu proiectiv^⁠(d) tridimensional, S, pot fi privite ca puncte ale unui spațiu proiectiv 5-dimensional, T. În acel 5-spațiu, punctele care reprezintă fiecare dreaptă din S se află pe o cuadrică Q cunoscută sub numele de cuartica Klein.

Dacă spațiul vectorial subiacent al lui S este spațiul vectorial cvadridimensional V, atunci T are ca spațiu vectorial subiacent spațiul vectorial cu 6 dimensiuni pătrat exterior Λ²V din V. Coordonatele dreptei^⁠(d) obținute în acest fel sunt cunoscute drept coordonatele Plücker^⁠(d).

Aceste coordonate Plücker satisfac ecuația pătratică

$p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0$

care definește pe Q, unde

$p_{ij}=u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i}$

sunt coordonatele dreptei generate de doi vectori u și v.

Spațiul tridimensional S poate fi reconstruit din cuadrica Q: planele conținute în Q se încadrează în două clase de echivalență^⁠(d), unde planele din aceeași clasă se întâlnesc într-un punct, iar planele din clase diferite se întâlnesc într-o dreaptă sau în mulțimea vidă. Fie aceste clase $C$ și $C'$. Geometria lui S este preluată după cum urmează:

1. Punctele din S sunt planele din C.
2. Dreptele din S sunt punctele din Q.
3. Planele din S sunt planele din C'.

Faptul că geometriile lui S și Q sunt izomorfe poate fi explicat prin izomorfismul diagramele Dynkin^⁠(d) A₃ și D₃.

Bibliografie

• en Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications, page 169, Cambridge University Press ISBN: 978-0-521-48277-6
• en Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
• de Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
• en Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry, volume 1, Interpretation of line coordinates as point coordinates in S₅, page 331, Ginn and Company.
• en Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil Jr. (1991), Twistor Geometry and Field Theory, Cambridge University Press, Bibcode:1991tgft.book.....W, ISBN 978-0-521-42268-0 .