Cuadrică Klein
| Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În matematică dreptele unui spațiu proiectiv(d) tridimensional, S, pot fi privite ca puncte ale unui spațiu proiectiv 5-dimensional, T. În acel 5-spațiu, punctele care reprezintă fiecare dreaptă din S se află pe o cuadrică Q cunoscută sub numele de cuartica Klein.
Dacă spațiul vectorial subiacent al lui S este spațiul vectorial cvadridimensional V, atunci T are ca spațiu vectorial subiacent spațiul vectorial cu 6 dimensiuni pătrat exterior Λ2V din V. Coordonatele dreptei(d) obținute în acest fel sunt cunoscute drept coordonatele Plücker(d).
Aceste coordonate Plücker satisfac ecuația pătratică
care definește pe Q, unde
sunt coordonatele dreptei generate de doi vectori u și v.
Spațiul tridimensional S poate fi reconstruit din cuadrica Q: planele conținute în Q se încadrează în două clase de echivalență(d), unde planele din aceeași clasă se întâlnesc într-un punct, iar planele din clase diferite se întâlnesc într-o dreaptă sau în mulțimea vidă. Fie aceste clase și . Geometria lui S este preluată după cum urmează:
- Punctele din S sunt planele din C.
- Dreptele din S sunt punctele din Q.
- Planele din S sunt planele din C'.
Faptul că geometriile lui S și Q sunt izomorfe poate fi explicat prin izomorfismul diagramele Dynkin(d) A3 și D3.
Bibliografie
modificare- en Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications, page 169, Cambridge University Press ISBN: 978-0-521-48277-6
- en Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
- de Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
- en Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry, volume 1, Interpretation of line coordinates as point coordinates in S5, page 331, Ginn and Company.
- en Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil Jr. (), Twistor Geometry and Field Theory, Cambridge University Press, Bibcode:1991tgft.book.....W, ISBN 978-0-521-42268-0.
