Cubica Tschirnhausen

În geometria algebrică cubica Tschirnhausen este o curbă plană, definită în forma sa cu deschiderea la stânga de ecuația polară

Cubica Tschirnhausen pentru cazul a = 1

$r=a\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)$

unde sec este funcția secantă.

Este o trisectoare.

Istoric

Curba a fost studiată de Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, Guillaume de l'Hôpital și Eugène Charles Catalan. Numele de „cubica Tschirnhausen” i-a fost dat de către Raymond Clare Archibald într-o lucrare din 1900. Mai este cunoscută sub numele de „cubica lui L'Hôpital” sau „curba trisectoare a lui Catalan”, care i-a stabilit expresia în coordonate carteziene.

Alte relații

Fie $t=\tan(\theta /3)$. Aplicând formula lui Moivre se obține

$x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)$

$=a(1-3t^{2})$

$y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)$

$=at(3-t^{2})$

forma parametrică a curbei. În coordonate carteziene parametrul t poate fi eliminat ușor, obținându-se

$27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}$.

Dacă curba este translată orizontal cu 8a și semnele variabilelor sunt modificate, ecuațiile curbei care rezultă cu deschidere la dreapta sunt

$x=3a(3-t^{2})$

$y=at(3-t^{2})$

și în coordonate carteziene

$x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)$.

Asta dă forma alternativă în coordonate polare

$r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)$.

Generalizare

Cubica Tschirnhausen este o spirală sinusoidală cu $n=-1/3$.

Vezi și

• Trisecțiunea unghiului

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Tschirnhausen Cubic la MathWorld.

• en "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics archive
• en Tschirnhausen cubic at mathcurve.com