Distanță Minkowski

Nu confundați cu metrica pseudoeuclidiană a spațiului Minkowski

Distanța Minkowski sau metrica Minkowski este o metrică într-un spațiu vectorial normat, care poate fi considerată ca o generalizare atât a distanței euclidiene, cât și a distanței Manhattan. Este numită după matematicianul german Hermann Minkowski.

Definiție

Distanța Minkowski de ordinul $p$ (unde $p$ este un întreg) între două puncte

$$X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$$

este definită drept:

$$D\left(X,Y\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$$

Pentru $p\geq 1,$ distanța Minkowski este metrica care rezultă din inegalitatea lui Minkowski. Când $p<1,$ distanța între $(0,0)$ și $(1,1)$ este $2^{1/p}>2,$ dar punctul $(0,1)$ este la distanța $1$ de ambele aceste puncte. Deoarece aceasta nu corespunde inegalității triunghiului, pentru $p<1$ nu este o metrică. Totuși pentru aceste valori se poate obține o metrică prin simpla omitere a exponentului $1/p.$ Metrica rezultantă este o F-normă.

De obicei distanța Minkowski este folosită cu $p$ 1 sau 2, care corespund distanței Manhattan, respectiv distanței euclidiene. În cazul limită când $p$ tinde la infinit, se obține distanța Cebîșev:

$$\lim _{p\to \infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.$$

Similar, când $p$ tinde spre infinitul negativ, se obține:

$$\lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.$$

Distanța Minkowski poate fi văzută și ca un multiplu al mediei generalizate a diferențelor dintre componentele $P$ și $Q.$

Următoarele figuri arată cercurile unitare (mulțimea tuturor punctelor care se află la distanța de o unitate față de centru) pentru diferite valori ale $p$:

Bibliografie

• Florin Iocob, Matematică - Anul I: Cursul 6, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-08-05

Legături externe

• en Simple IEEE 754 implementation in C++
• en NPM JavaScript Package/Module