Element conjugat

Acest articol se referă la rădăcinile conjugate ale polinoamelor. Pentru alte sensuri, vedeți Conjugare (dezambiguizare).

În matematică, în special în teoria corpurilor, elementul conjugat al unui element algebric α, pe o extindere de corp L/K, sunt rădăcinile unui polinom minimal p_K,α(x) în α pe K. Elementele conjugate mai sunt cunoscute drept conjugate Galois, sau, simplu conjugate. Normal, α însuși este cuprins în mulțimea conjugatelor lui α.

Exemplu

Rădăcinile cubice ale unității sunt:

${\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}$

Ultimele două rădăcini sunt elemente conjugate în Q[i√3] cu polinomul minimal

$\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.$

Proprietăți

Dacă K este dat într-un corp algebric închis C, atunci conjugatele pot fi luate în interiorul C. Dacă nu este specificat un astfel de C, se pot lua conjugatele într-un corp relativ mic L. Cea mai mică alegere posibilă pentru L este să se ia un corp de descompunere^⁠(d) peste K de p _K,α, care conține  α. Dacă L este orice extindere normală a lui K care conține  α, atunci prin definiție conține deja un astfel de corp de descompunere.

Fiind dată o extindere normală L a lui K, cu grupul de automorfisme Aut(L/K) = G, și conținând pe α, orice element g(α) pentru g din G va fi un conjugat al α, deoarece automorfismul g trimite rădăcinile lui p la rădăcinile lui p. În schimb, orice conjugat β al lui α este de această formă: cu alte cuvinte, G acționează^⁠(d) tranzitiv asupra conjugatelor. Aceasta rezultă din faptul că K(α) este K-izomorf cu K(β) datorită ireductibilității polinomului minimal, iar orice izomorfism al corpurilor F și F' care aplică polinomul p pe p' poate fi extins la un izomorfism al corpului de descompunere al p peste F, respectiv al p' peste F'.

În rezumat, în orice extindere normală L a lui K care conține K(α), elementele conjugate ale α se găsesc ca elemente g(α) în Aut(L/K). Numărul de repetări din lista respectivă a fiecărui element este gradul separabil [L:K(α)]_sep.

O teoremă a lui Leopold Kronecker afirmă că, dacă α este un întreg algebric nenul astfel încât α și toți conjugații săi din numerele complexe au valoarea absolută cel mult 1, atunci α este o rădăcină a unității. Există forme cantitative ale acestui lucru, afirmând mai precis limite (în funcție de grad) la cea mai mare valoare absolută a unui conjugat care implică faptul că un număr întreg algebric este o rădăcină a unității.

Bibliografie

• en David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Conjugate Elements la MathWorld.