Element conjugat
| Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În matematică, în special în teoria corpurilor, elementul conjugat al unui element algebric α, pe o Extensie de corp L/K, sunt rădăcinile unui polinom minimal pK,α(x) în α pe K. Elementele conjugate mai sunt cunoscute drept conjugate Galois, sau, simplu conjugate. Normal, α însuși este cuprins în mulțimea conjugatelor lui α.
Exemplu modificare
Rădăcinile cubice ale unității sunt:
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34018166f8f66f57a4aeb0dfa7036ca51d35e671)
Ultimele două rădăcini sunt elemente conjugate în Q[i√3] cu polinomul minimal
Proprietăți modificare
Dacă K este dat într-un corp algebric închis C, atunci conjugatele pot fi luate în interiorul C. Dacă nu este specificat un astfel de C, se pot lua conjugatele într-un corp relativ mic L. Cea mai mică alegere posibilă pentru L este să se ia un corp de descompunere(d) peste K de p K,α, care conține α. Dacă L este orice extensie normală a lui K care conține α, atunci prin definiție conține deja un astfel de corp de descompunere.
Fiind dată o extensie normală L a lui K, cu grupul de automorfisme Aut(L/K) = G, și conținând pe α, orice element g(α) pentru g din G va fi un conjugat al α, deoarece automorfismul g trimite rădăcinile lui p la rădăcinile lui p. În schimb, orice conjugat β al lui α este de această formă: cu alte cuvinte, G acționează(d) tranzitiv asupra conjugatelor. Aceasta rezultă din faptul că K(α) este K-izomorf cu K(β) datorită ireductibilității polinomului minimal, iar orice izomorfism al corpurilor F și F' care aplică polinomul p pe p' poate fi extins la un izomorfism al corpului de descompunere al p peste F, respectiv al p' peste F'.
În rezumat, în orice extensie normală L a lui K care conține K(α), elementele conjugate ale α se găsesc ca elemente g(α) în Aut(L/K). Numărul de repetări din lista respectivă a fiecărui element este gradul separabil [L:K(α)]sep.
O teoremă a lui Leopold Kronecker afirmă că, dacă α este un întreg algebric nenul astfel încât α și toți conjugații săi din numerele complexe au valoarea absolută cel mult 1, atunci α este o rădăcină a unității. Există forme cantitative ale acestui lucru, afirmând mai precis limite (în funcție de grad) la cea mai mare valoare absolută a unui conjugat care implică faptul că un număr întreg algebric este o rădăcină a unității.
Bibliografie modificare
- en David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.
