În matematică o evolventă este un tip de curbă care depinde de o altă formă sau curbă. Intuitiv, o evolventă a unei curbe este locul geometric al unui punct aflat pe o sfoară întinsă care este desfășurată de pe curbă sau înfășurată pe curbă.[1]

Două evolvente (cu roșu) ale unei parabole

Este o clasă de curbe din familia de curbe ruletă.

Evoluta unei evolvente este curba inițială.

Noțiunile de evolventă și evolută ale unei curbe au fost introduse de Christiaan Huygens în lucrarea sa din 1673, Horologium Oscillatorium⁠(d).[2]

Evolventa unei curbe parametriceModificare

Fie   o curbă regulată plană la care curbura nu este 0 nicăieri și  . Atunci, curba cu reprezentarea parametrică

 

este o evolventă a curbei date.

Adăugarea unui număr arbitrar, dar fix, a, la integrala   are ca rezultat o evolventă corespunzând unei distanțe mărite cu a (ca un ghem de lână cu o bucată de fir atârnând înainte de a fi desfășurat).

Dacă   se obține

 

Proprietățile evolventelorModificare

 
Evolvente; unghiurile marcate au 90°

Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească lungimea arcului⁠(d)   drept parametru al curbei date, ceea ce duce la următoarele simplificări:   și  , cu   curbura și   versorul normal. Pentru evolventă de obține:

  și
 

și propozițiile:

  • în punctul   evolventa este neregulată (deoarece   ),

iar din   rezultă:

  • normala evolventei în punctul   este tangenta curbei date în punctul  ;
  • evolventele sunt curbe paralele, deoarece   și   este versorul normal la  .

ExempleModificare

Evolventa unui cercModificare

 
Evolventa unui cerc

Pentru un cerc cu reprezentarea parametrică   avem

 ,

deoarece  , iar lungimea căii este  .

Evaluând ecuația dată de mai sus a evolventei, pentru ecuația parametrică a evolventei cercului se obține

 .

Termenul   este opțional; el servește la definirea punctului de început al curbei pe cerc. Figura prezintă evolvente pentru   (verde),   (roșu),   (violet) și   (albastru deschis). Evolventele seamănă cu spiralele arhimedice, dar nu sunt.

Lungimea arcului pentru   și   a unei evolvente este

 

Evolventa unei curbe lănțișorModificare

Pentru o curbă lănțișor⁠(d)  , vectorul tangent este  , și deoarece   lungimea sa este  . Astfel, lungimea arcului de la punctul (0, 1) este  

Deoarece forma parametrică a evolventei din (0, 1) este

 

evolventa este o tractrice⁠(d).

Alte evolvente, paralele cu tractricea, nu sunt și ele tractrice.

Evolventa unei cicloideModificare

 
Evolvente ale unei cicloide (cu albastru): doar curba roșie este o (altă) cicloidă

Reprezentarea parametrică   descrie o cicloidă. Din   se obține (folosind relații trigonometrice)

 

și

 

Prin urmare, ecuațiile evolventei corespunzătoare sunt

 
 

care descriu cicloida roșie din imagine, translație a celei albastre. Prin urmare evolventele unei cicloide   sunt curbe paralele cu cicloida,   dar, cu excepția celei roșii, nu sunt ele însele cicloide.

   
Tractricea (cu roșu) este evolventa lănțișorului
Evoluta tractricei este o curbă lănțișor

Evolventă și evolutăModificare

Între evolventă și evolută este valabilă afirmația: o curbă este evoluta oricărei evolvente ale sale.[3][4]

AplicațiiModificare

Proprietățile evolventei o fac extrem de importantă pentru domeniul roților dințate: dacă două roți dințate angrenate au dinții cu profil în evolventă, vitezele lor de rotație relative sunt constante cât timp dinții sunt în contact. Aceste angrenaje fac întotdeauna contact de-a lungul unei linii de forță constantă. Cu dinți de alte forme, vitezele și forțele relative cresc și scad pe măsură ce dinții succesivi se cuplează, rezultând vibrații, zgomot și uzură excesivă. Din acest motiv, aproape toate roțile dințate moderne au dinții în evolventă.[5]

 
Mecanismul unui compresor cu spirală

Evolventa unui cerc este forma pieselor unui compresor cu spirală⁠(d). Compresoarele cu spirală au randamente termodinamice și mecanice bune și un mers liniștit.

Unele schimbătoare de căldură folosesc elemente în formă de evolventă deoarece secțiunile de curgere rămân constante.

NoteModificare

  1. ^ en Rutter, J.W. (). Geometry of Curves. CRC Press. pp. 204. ISBN 9781584881667. 
  2. ^ en McCleary, John (). Geometry from a Differentiable Viewpoint . Cambridge University Press. pp. 89. ISBN 9780521116077. 
  3. ^ de K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ..., Springer-Verlag, 2012,ISBN: 3834883468, S. 30.
  4. ^ de R. Courant:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.
  5. ^ en V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", Resonance 18(9): 817 to 31 Springerlink (subscription required).

Legături externeModificare