În matematică funcția zeta Ihara este o funcție asociată cu un graf finit. Seamănă cu funcția zeta Selberg și este folosită pentru a lega drumurile închise cu spectrul matricei de adiacență. Funcția zeta Ihara a fost definită pentru prima dată de Yasutaka Ihara în anii 1960 în contextul subgrupurilor discrete de două câte două numere p-adic⁠(d) din grupul liniar special⁠(d). Jean-Pierre Serre a sugerat în cartea sa Trees (în română Arbori) că definiția originală a lui Ihara poate fi reinterpretată conform teoriei grafurilor. Toshikazu Sunada a fost cel care a pus această sugestie în practică în 1985. După cum a observat Sunada, un graf regulat este un graf Ramanujan⁠(d) dacă și numai dacă funcția sa zeta Ihara satisface un analog al ipotezei Riemann.[1]

Definiție

modificare

Funcția zeta Ihara este definită ca prelungirea analitică⁠(d) a produsului infinit

 

Produsul din definiție este aplicabil pe toate geodezicele închise p ale grafului  , unde geodezicele care diferă doar printr-o deplasare circulară sunt considerate egale. O geodezică închisă p pe G (cunoscută în teoria grafurilor ca „drum închis”) este un șir finit de noduri   astfel încât

 
 

Numărul întreg k este lungimea   a lui p. Geodezica închisă p este primă dacă nu poate fi obținută prin repetarea de m ori a unei geodezice închise, pentru un m > 1 întreg.

Aceasta este formularea lui Sunada.

Formula lui Ihara

modificare

Ihara (și Sunada în teoria grafurilor) au arătat că pentru grafurile regulate funcția zeta este o funcție rațională. Dacă G este un graf (q+1)-regulat cu matricea de adiacență A atunci[2]

 

unde   este rangul⁠(d) lui G. Dacă G este conex și are n noduri,  .

Funcția zeta Ihara este de fapt întotdeauna reciproca unui polinom de graf:

 

unde T este operatorul de adiacență al lui Ki-ichiro Hashimoto.

Aplicații

modificare

Funcția zeta Ihara joacă un rol important în studiul grupurilor libere⁠(d), a teoriei spectrale a grafurilor⁠(d) și a sistemelor dinamice, în special a dinamicii simbolice, unde funcția zeta Ihara este un exemplu de funcție zeta Ruelle.[3]

  1. ^ Terras (1999) p. 678
  2. ^ Terras (1999) p. 677
  3. ^ Terras (2010) p. 29

Bibliografie

modificare
  • en Ihara, Yasutaka (). „On discrete subgroups of the two by two projective linear group over  -adic fields”. Journal of the Mathematical Society of Japan. 18: 219–235. doi:10.2969/jmsj/01830219 . MR 0223463. Zbl 0158.27702. 
  • en Sunada, Toshikazu (). „L-functions in geometry and some applications”. Curvature and Topology of Riemannian Manifolds. Lecture Notes in Mathematics. 1201. pp. 266–284. doi:10.1007/BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046. 
  • en Bass, Hyman (). „The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice”. International Journal of Mathematics. 3 (6): 717–797. doi:10.1142/S0129167X92000357. MR 1194071. Zbl 0767.11025. 
  • en Stark, Harold M. (). „Multipath zeta functions of graphs”. În Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; et al. Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. pp. 601–615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040. 
  • en Terras, Audrey (). „A survey of discrete trace formulas”. În Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller; et al. Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. pp. 643–681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031. 
  • en Terras, Audrey (). Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003.