Funcția zeta Ihara

În matematică funcția zeta Ihara este o funcție asociată cu un graf finit. Seamănă cu funcția zeta Selberg și este folosită pentru a lega drumurile închise cu spectrul matricei de adiacență. Funcția zeta Ihara a fost definită pentru prima dată de Yasutaka Ihara în anii 1960 în contextul subgrupurilor discrete de două câte două numere p-adic^⁠(d) din grupul liniar special^⁠(d). Jean-Pierre Serre a sugerat în cartea sa Trees (în română Arbori) că definiția originală a lui Ihara poate fi reinterpretată conform teoriei grafurilor. Toshikazu Sunada a fost cel care a pus această sugestie în practică în 1985. După cum a observat Sunada, un graf regulat este un graf Ramanujan^⁠(d) dacă și numai dacă funcția sa zeta Ihara satisface un analog al ipotezei Riemann.

Definiție

Funcția zeta Ihara este definită ca prelungirea analitică^⁠(d) a produsului infinit

$\zeta _{G}\left(u\right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{\mathrm {L} (p)}}}$

Produsul din definiție este aplicabil pe toate geodezicele închise p ale grafului $G=(V,E)$, unde geodezicele care diferă doar printr-o deplasare circulară sunt considerate egale. O geodezică închisă p pe G (cunoscută în teoria grafurilor ca „drum închis”) este un șir finit de noduri $p=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})$ astfel încât

$(v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\in E,$

$v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.$

Numărul întreg k este lungimea $L(p)$ a lui p. Geodezica închisă p este primă dacă nu poate fi obținută prin repetarea de m ori a unei geodezice închise, pentru un m > 1 întreg.

Aceasta este formularea lui Sunada.

Formula lui Ihara

Ihara (și Sunada în teoria grafurilor) au arătat că pentru grafurile regulate funcția zeta este o funcție rațională. Dacă G este un graf (q+1)-regulat cu matricea de adiacență A atunci

$\zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}}\$

unde $r(G)$ este rangul^⁠(d) lui G. Dacă G este conex și are n noduri, $r(G)-1=(q-1)n/2$.

Funcția zeta Ihara este de fapt întotdeauna reciproca unui polinom de graf:

$\zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,$

unde T este operatorul de adiacență al lui Ki-ichiro Hashimoto.

Aplicații

Funcția zeta Ihara joacă un rol important în studiul grupurilor libere^⁠(d), a teoriei spectrale a grafurilor^⁠(d) și a sistemelor dinamice, în special a dinamicii simbolice, unde funcția zeta Ihara este un exemplu de funcție zeta Ruelle.

Bibliografie

• en Ihara, Yasutaka (1966). „On discrete subgroups of the two by two projective linear group over ${\mathfrak {p}}$-adic fields”. Journal of the Mathematical Society of Japan. 18: 219–235. doi:10.2969/jmsj/01830219 . MR 0223463. Zbl 0158.27702. 
• en Sunada, Toshikazu (1986). „L-functions in geometry and some applications”. Curvature and Topology of Riemannian Manifolds. Lecture Notes in Mathematics. 1201. pp. 266–284. doi:10.1007/BFb0075662. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046. 
• en Bass, Hyman (1992). „The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice”. International Journal of Mathematics. 3 (6): 717–797. doi:10.1142/S0129167X92000357. MR 1194071. Zbl 0767.11025. 
• en Stark, Harold M. (1999). „Multipath zeta functions of graphs”. În Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C.; et al. Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. pp. 601–615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040. 
• en Terras, Audrey (1999). „A survey of discrete trace formulas”. În Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller; et al. Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. pp. 643–681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031. 
• en Terras, Audrey (2010). Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003.