Funcția zeta Ruelle

În matematică funcția zeta Ruelle este o funcție asociată cu un sistem dinamic. Este numită astfel după fizicianul matematician David Ruelle.

Definiție formală

Fie f o funcție definită pe o varietate M, astfel încât mulțimea de puncte fixe Fix(f ⁿ) este finită pentru toate n > 1. Mai departe, fie φ o funcție pe M cu valori în matricea complexă d × d. Funcția zeta de primul fel este

$\zeta (z)=\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {z^{m}}{m}}\sum _{x\in \operatorname {Fix} (f^{m})}\operatorname {Tr} \left(\prod _{k=0}^{m-1}\phi (f^{k}(x))\right)\right)$

Exemple

În cazul particular d = 1, φ = 1, funcția devine

$\zeta (z)=\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {z^{m}}{m}}\left|\operatorname {Fix} (f^{m})\right|\right)$

care este funcția zeta Artin–Mazur.

Funcția zeta Ihara este un exemplu de funcție zeta Ruelle.

Bibliografie

• en Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006). Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings. Springer Monographs in Mathematics. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-33285-5. Zbl 1119.28005. 
• en Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000). „Zeta functions of finite graphs”. J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 7: 7–25. 
• en Terras, Audrey (2010). Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003. 
• en Ruelle, David (2002). „Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators” (PDF). Bulletin of AMS. 8 (59): 887–895.