Goligon

poligon cu unghiurile drepte și laturile consecutive proporționale cu numere întregi consecutive

Un goligon sau, mai general un izogon serial la 90°, este orice poligon care are toate unghiurile drepte și ale cărui laturi consecutive au lungimi proporționale cu numere întregi consecutive. Goligoanele au fost inventate și denumite astfel de Lee Sallows și popularizate de A.K. Dewdney într-o rubrică din Scientific American din 1990 (Smith).[1] Diferitele definiții ale goligoanelor permit intersectarea laturilor, folosind și alte șiruri de lungimi ale laturilor decât cele proporționale cu numere întregi consecutive și luând în considerare alte unghiuri decât cele de 90°.[2]

Cel mai mic goligon are 8 laturi. Este singura soluție cu mai puțin de 16 laturi. Are două vârfuri (colțuri) concave și se potrivește într-o grilă de 8×10.

Proprietăți

modificare

De obicei goligoanele sunt trasate într-o grilă carteziană, context în care se vorbește despre „laturi orizontale” și „laturi verticale”.

În orice goligon, toate laturile orizontale au aceeași paritate⁠(d) unele ca altele, la fel și toate laturile verticale. Prin urmare, numărul n de laturi trebuie să permită rezolvarea sistemului de ecuații

 
 

De aici rezultă că n trebuie să fie un multiplu de 8. De exemplu, în figură   și  .

Numărul de goligoane pentru o anumită valoare permisă a lui n poate fi calculat eficient utilizând funcția generatoare OEIS A007219.[3]. Numărul de goligoane pentru valorile permise ale lui n este 4, 112, 8432, 909288 etc.[4] Găsirea numărului de soluții care corespund goligoanelor care nu se autointersectează pare a fi semnificativ mai dificilă.

Există un singur goligon cu opt laturi (în figura de sus). Acesta poate pava planul printr-o rotație de 180° deoarece satisface criteriul Conway.

Generalizări

modificare

Un izogon serial de ordinul n este un poligon închis cu un unghi constant la fiecare vârf, având laturile consecutive de lungime 1, 2, ..., n unități. Poligonul se poate autointersecta.[5] Goligoanele sunt un caz particular de izogoane seriale.[6]

Un spirolateral⁠(d) este o construcție asemănătoare, având notația nθi1,i2,...,ik și lungimile laturilor 1,2,3,...,n iar unghiurile interne θ, cu posibilitatea de repetare până când se revine în vârful original. Exponenții i1,i2,...,ik enumeră laturile care urmează direcții de viraj opuse.

  1. ^ en Dewdney, A.K. (). „An odd journey along even roads leads to home in Golygon City”. Scientific American. 263: 118–121. doi:10.1038/scientificamerican0790-118. 
  2. ^ en Harry J. Smith. „What is a Golygon?”. Arhivat din original la . 
  3. ^ Șirul A007219 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  4. ^ en Eric W. Weisstein, Golygon la MathWorld.
  5. ^ en Sallows, Lee (). „New pathways in serial isogons”. The Mathematical Intelligencer. 14 (2): 55–67. doi:10.1007/BF03025216. 
  6. ^ a b c d e en Sallows, Lee; Gardner, Martin; Guy, Richard K.; Knuth, Donald (). „Serial isogons of 90 degrees”. Mathematics Magazine. 64 (5): 315–324. doi:10.2307/2690648. JSTOR 2690648. 

Legături externe

modificare