Criteriul Conway
În teoria matematică a pavărilor criteriul Conway, numit după matematicianul englez John Horton Conway, este o regulă a cărei satisfacere este suficientă(d) ca o dală să poată pava planul. Acesta constă din următoarele cerințe:[1] dala trebuie să fie topologic un disc închis cu șase puncte consecutive A, B, C, D, E și F pe frontieră astfel încât:[2]
- partea frontierei de la A la B este congruentă cu partea frontierei de la E la D printr-o translație T unde T(A) = E și T( B) = D.
- fiecare dintre părțile de frontieră BC, CD, EF și FA are simetrie față de centru — adică fiecare este congruentă cu sine însăși atunci când este rotită cu 180° în jurul punctului său de mijloc.
- unele dintre cele șase puncte pot coincide, dar cel puțin trei dintre ele trebuie să fie distincte.
Orice dală care satisface criteriul Conway admite o pavare periodică a planului — și face acest lucru folosind doar rotații de 180°.[1] Criteriul Conway este o condiție suficientă pentru a demonstra că o dală poate pava planul, dar nu una necesară. Există dale care nu satisfac criteriul și totuși pavează planul.[3]
Orice dală Conway este pliabilă fie într-un bisfenoid, fie într-un diedru dreptunghiular, și invers, orice rețea a unui bisfenoid sau diedru dreptunghic este o dală Conway.[3][4]
Istoric
modificareCriteriul Conway se aplică oricărei forme care este un disc închis. Dacă frontiera unei astfel de forme satisface criteriul, atunci ea va pava planul. Deși graficianul M. C. Escher nu a publicat niciodată criteriul, l-a descoperit la mijlocul anilor 1920. Una dintre cele mai vechi pavări ale sale, ulterior numerotată de el cu „1”, ilustrează înțelegerea sa asupra condițiilor din criteriu. Șase dintre cele mai vechi pavări ale sale satisfac toate criteriul. În 1963, matematicianul german Heinrich Heesch a descris cele cinci tipuri de dale care îndeplinesc criteriul. El a descris fiecare tip printr-o notație care identifică laturile unei dale succesiv în jurul frontierei: CCC, CCCC, TCTC, TCTCC, TCCTCC, unde C înseamnă o latură cu simetrie față de centru, iar T înseamnă o latură translată.[5]
Conway s-a inspirat probabil din rubrica lui Martin Gardner din iulie 1975 din Scientific American care discuta ce poligoane convexe pot pava planul.[6] În august 1975 Gardner a dezvăluit că Conway și-a descoperit criteriul în timp ce încerca să găsească o modalitate eficientă de a determina care dintre cele 108 heptominouri pot pava planul.[7]
Exemple
modificare
În forma sa cea mai simplă, criteriul afirmă pur și simplu că orice hexagon cu o pereche de laturi opuse care sunt paralele și congruente va pava planul.[8] În articolul lui Gardner acesta se numește hexagon de tip 1.[7] Acest lucru este valabil și pentru paralelograme. Dar translațiile care corespund laturilor opuse ale acestor dale sunt realizate prin două rotații de 180° — față de punctul de mijloc al două laturi adiacente în cazul unui paralelogon hexagonal și față de punctul de mijloc al unei laturi și un vârf în cazul unui paralelogram. Atunci când o dală care îndeplinește criteriul Conway este rotită cu 180° în jurul punctului de mijloc al unei laturi cu simetrie față de centru se creează fie un paralelogram generalizat, fie un paralelogon hexagonal generalizat (acestea au laturi opuse congruente și paralele), astfel încât dalele dublate pot pava planul cu copii translate.[9]
Criteriul Conway este surprinzător de puternic, mai ales atunci când este aplicat la poliforme. Cu excepția a patru heptominouri, toate poliominourile până la ordinul 7 fie satisfac criteriul Conway, fie două copii pot forma o combinație care satisface criteriul.[10]
Note
modificare- ^ a b en Doris Schattschneider, Will It Tile? Try the Conway Criterion!, Mathematics Magazine Vol. 53, No. 4 (Sep, 1980), pp. 224–233
- ^ en Periodic Tiling: Polygons in General
- ^ a b en Treks Into Intuitive Geometry: The World of Polygons and Polyhedra[nefuncțională – arhivă] by Jin Akiyama and Kiyoko Matsunaga, Springer 2016, ISBN: 9784431558415
- ^ en Doris Schattschneider, Two Conway Geometric Gems, Nov 1, 2021 [video]
- ^ en Heinrich Heesch, Otto Kienzle, Flächenschluss. System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flachteile, Berlin: Springer, 1963
- ^ en Gardner, Martin, On tessellating the plane with convex polygon tiles, Mathematical Games in Scientific American, vol. 233, no. 1 (iulie 1975)
- ^ a b en Gardner, Martin. More about tiling the plane: the possibilities of polyominoes, polyiamonds, and polyhexes, Mathematical Games, Scientific American, vol. 233, no. 2 (august 1975)
- ^ en George Martin, Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1991, p. 152, ISBN 0-88385-501-1
- ^ en Drawing Wallpaper Patterns: The five types of Conway Criterion polygon tile, PDF file
- ^ en Rhoads, Glenn C. (). „Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds”. Journal of Computational and Applied Mathematics. 174 (2): 329–353. doi:10.1016/j.cam.2004.05.002
.
Legături externe
modificare
Materiale media legate de criteriul Conway la Wikimedia Commons
- en Conway’s Magical Pen An online app where you can create your own original Conway criterion tiles and their tessellations.