Independență algebrică

În algebra abstractă o submulțime $S$ a unui corp $L$ independentă algebric peste un subcorp dacă elementele din $S$ nu satisfac nicio ecuație polinomială netrivială cu coeficienți în $K$.

În particular, un element $\{\alpha \}$ al unei mulțimi este independent algebric peste $K$ dacă și numai dacă $\alpha$ este transcendent peste $K$. În general, toate elementele unei mulțimi independente algebric $S$ peste $K$ sunt necesar transcendente peste $K$ și peste toate extensiile peste $K$ generate de restul elementelor lui $S$.

Exemplu

Cele două numere reale ${\sqrt {\pi }}$ și $2\pi +1$ sunt fiecare numere transcendente: ele nu sunt rădăcinile vreunui polinom netrivial cu coeficienți raționali. Prin urmare, fiecare din cele două singletoane $\{{\sqrt {\pi }}\}$ și $\{2\pi +1\}$ sunt independente algebric peste corpul numerelor raționale $\mathbb {Q}$.

În orice caz, mulțimea $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ nu este independentă algebric peste numerele raționale deoarece polinomul netrivial

$P(x,y)=2x^{2}-y+1$

este zero pentru $x={\sqrt {\pi }}$ și $y=2\pi +1$.

Independența algebrică a unor constante

Deși se știe că ambele $\pi$ și e sunt transcendente, nu se știe dacă mulțimea formată din ele este independentă algebric peste $\mathbb {Q}$. De fapt nu se știe nici măcar dacă $\pi +e$ este irațional. Nesterenko a demonstrat în 1996 că:

• numerele $\pi$, $e^{\pi }$ și Γ(1/4) sunt independente algebric peste $\mathbb {Q}$.
• numerele $\pi$, $e^{\pi {\sqrt {3}}}$ și Γ(1/3) sunt independente algebric peste $\mathbb {Q}$.
• pentru toți întregii pozitivi $n$, numerele $\pi$ și $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ sunt independente algebric peste $\mathbb {Q}$.

Teorema Lindemann–Weierstrass

Teorema Lindemann–Weierstrass^⁠(d) poate fi folosită adesea pentru a demonstra că unele mulțimi sunt independente algebric peste $\mathbb {Q} .$ Se afirmă că ori de câte ori $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ sunt numere algebrice acestea sunt independente liniar^⁠(d) peste $\mathbb {Q}$, ca urmare $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ sunt și ele independente algebric peste $\mathbb {Q}$.

Matroizi algebrici

Fiind dată o extensie de corp $L/K$ care nu este algebrică, Lema lui Zorn poate fi utilizată pentru a arăta că există întotdeauna o submulțime maximă independentă algebric a $L$ peste $K$. Mai mult, toate submulțimile maxime independente algebric au aceeași cardinalitate, cunoscută sub numele de grad de transcendență al extensiei.

Pentru orice mulțime $S$ de elemente ale $L$, submulțimile independente algebric din $S$ satisfac axiomele care definesc mulțimile independente ale unui matroid^⁠(d). În acest matroid, rangul unei mulțimi este gradul său de transcendență, iar subspațiul generat de mulțimea $T$ de elemente este intersecția lui $L$ cu corpul $K[T]$. Un matroid care poate fi generat în acest mod se numește matroid algebric. Nu există o caracterizare bună a matroizilor algebrici, dar se știe că unii matroizi nu sunt algebrici; cel mai mic este matroidul Vámos.

Mulți matroizi finiți pot fi reprezentați^⁠(d) printr-o matrice peste corpul $K$, în care elementele matroidului corespund coloanelor matricii, iar mulțimea elementelor este independentă dacă mulțimea corespunzătoare a coloanelor este independentă liniar. Orice matroid cu o reprezentare liniară de acest tip poate fi reprezentat și ca un matroid algebric, prin alegerea unei nedeterminate pe fiecare rând al matricii, și folosirea coeficienților matricii în fiecare coloană pentru a atribui fiecărui element al matroidului o combinație liniară a acestor transcendente. Inversa este falsă: nu orice matroid algebric are o reprezentare liniară.

Legături externe

• en Chen, Johnny, Algebraically Independent la MathWorld.