Independență algebrică

În algebra abstractă o submulțime a unui corp independentă algebric peste un subcorp dacă elementele din nu satisfac nicio ecuație polinomială netrivială cu coeficienți în .

În particular, un element al unei mulțimi este independent algebric peste dacă și numai dacă este transcendent peste . În general, toate elementele unei mulțimi independente algebric peste sunt necesar transcendente peste și peste toate extinderile peste generate de restul elementelor lui .

Cele două numere reale   și   sunt fiecare numere transcendente: ele nu sunt rădăcinile vreunui polinom netrivial cu coeficienți raționali. Prin urmare, fiecare din cele două singletoane   și   sunt independente algebric peste corpul numerelor raționale  .

În orice caz, mulțimea   nu este independentă algebric peste numerele raționale deoarece polinomul netrivial

 

este zero pentru   și  .

Independența algebrică a unor constante

modificare

Deși se știe că ambele   și e sunt transcendente, nu se știe dacă mulțimea formată din ele este independentă algebric peste  .[1] De fapt nu se știe nici măcar dacă   este irațional.[2] Nesterenko a demonstrat în 1996 că:

  • numerele  ,   și Γ(1/4) sunt independente algebric peste  .[3]
  • numerele  ,   și Γ(1/3) sunt independente algebric peste  .
  • pentru toți întregii pozitivi  , numerele   și   sunt independente algebric peste  .[4]

Teorema Lindemann–Weierstrass

modificare

Teorema Lindemann–Weierstrass⁠(d) poate fi folosită adesea pentru a demonstra că unele mulțimi sunt independente algebric peste   Se afirmă că ori de câte ori   sunt numere algebrice acestea sunt independente liniar⁠(d) peste  , ca urmare   sunt și ele independente algebric peste  .

Matroizi algebrici

modificare

Fiind dată o extindere de corp   care nu este algebrică, Lema lui Zorn poate fi utilizată pentru a arăta că există întotdeauna o submulțime maximă independentă algebric a   peste  . Mai mult, toate submulțimile maxime independente algebric au aceeași cardinalitate, cunoscută sub numele de grad de transcendență al extinderii.

Pentru orice mulțime   de elemente ale  , submulțimile independente algebric din   satisfac axiomele care definesc mulțimile independente ale unui matroid⁠(d). În acest matroid, rangul unei mulțimi este gradul său de transcendență, iar subspațiul generat de mulțimea   de elemente este intersecția lui   cu corpul  . Un matroid care poate fi generat în acest mod se numește matroid algebric. Nu există o caracterizare bună a matroizilor algebrici, dar se știe că unii matroizi nu sunt algebrici; cel mai mic este matroidul Vámos.[5]

Mulți matroizi finiți pot fi reprezentați⁠(d) printr-o matrice peste corpul  , în care elementele matroidului corespund coloanelor matricii, iar mulțimea elementelor este independentă dacă mulțimea corespunzătoare a coloanelor este independentă liniar. Orice matroid cu o reprezentare liniară de acest tip poate fi reprezentat și ca un matroid algebric, prin alegerea unei nedeterminate pe fiecare rând al matricii, și folosirea coeficienților matricii în fiecare coloană pentru a atribui fiecărui element al matroidului o combinație liniară a acestor transcendente. Inversa este falsă: nu orice matroid algebric are o reprezentare liniară.[6]

  1. ^ en Patrick Morandi (). Field and Galois Theory. Springer. p. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Accesat în . 
  2. ^ en Green, Ben (), „III.41 Irrational and Transcendental Numbers”, În Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, p. 222 
  3. ^ en Manin, Iu. I.; Pancișkin, A. A. (). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (ed. Second). p. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002. 
  4. ^ en Nesterenko, Iuri V (). „Modular Functions and Transcendence Problems”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914. 
  5. ^ en Ingleton, A. W.; Main, R. A. (), „Non-algebraic matroids exist”, Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (2): 144–146, doi:10.1112/blms/7.2.144, MR 0369110 
  6. ^ en Joshi, K. D. (), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263 

Legături externe

modificare