Lemniscată polinomială

curbă algebrică plană

În matematică, o lemniscată polinomială sau curbă de nivel polinomială este o curbă algebrică⁠(d) plană de gradul 2n, construită dintr-un polinom p cu coeficienți complecși de grad n.

Pentru orice astfel de polinom p și număr real pozitiv c, se poate defini un set de numere complexe prin Această mulțime de numere poate fi echivalată cu puncte din planul cartezian real, conducând la o curbă algebrică ƒ(xy)  = c2 de gradul 2n, care rezultă din dezvoltarea în termeni de

Când p este un polinom de gradul 1, atunci curba rezultată este un cerc al cărui centru este zeroul lui p. Când p este un polinom de gradul 2, atunci curba este un oval Cassini⁠(d).

Lemniscata Erdős

modificare
 
Lemniscata Erdős de gradul 10 și genul 6

O conjectură a lui Paul Erdős care a suscitat un interes considerabil se referă la lungimea maximă a unei lemniscate polinomiale ƒ(xy) = 1 de gradul 2n când p este monic, despre care Erdős a presupus că a fost atins când p(z) = zn − 1. Acest lucru încă nu este demonstrat, dar Alexander Fryntov și Fedor Nazarov au demonstrat că p are un maxim local.[1] În cazul în care n = 2, lemniscata Erdős devine lemniscata lui Bernoulli

 

și s-a demonstrat că aceasta este într-adevăr lungimea maximă pentru gradul 4. Lemniscata Erdős are trei singularități, dintre care una este în origine, și genul (n − 1)(n − 2)/2. Prin inversarea⁠(d) lemniscatei Erdős în cercul unitate, se obține o curbă nesingulară de grad n.

Lemniscata polinomială generică

modificare

În general, o lemniscată polinomială nu se va atinge în origine și va avea doar două singularități ordinare, deci genul (n − 1)2. Ca o curbă reală, poate avea un număr de componente neconexe. Prin urmare, nu va arăta ca o lemniscată, ceea ce face ca numele să fie o denumire greșită.

Un exemplu interesant de astfel de lemniscate polinomiale sunt curbele Mandelbrot. Dacă se face   și   atunci lemniscatele polinomiale corespunzătoare Mn definite de   converg către frontiera mulțimii lui Mandelbrot.[2] Curbele Mandelbrot sunt de gradul 2n+1.[3]

  1. ^ en Fryntov, Alexander; Nazarov, Fedor (). „New estimates for the length of the Erdos-Herzog-Piranian lemniscate”. Linear and Complex Analysis. 226: 49–60. arXiv:0808.0717 . Bibcode:2008arXiv0808.0717F. 
  2. ^ en The Mandelbrot Curves, desmos.com, accesat 2023-06-10
  3. ^ en Ivancevic, Vladimir G.; Ivancevic, Tijana T. (), High-Dimensional Chaotic and Attractor Systems: A Comprehensive Introduction, Springer, p. 492, ISBN 9781402054563 

Bibliografie

modificare
  • en Alexandre Eremenko, Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, no. 2, 409–415 [1]
  • en O. S. Kusnetzova, V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 [2]