Lemniscată polinomială

În matematică, o lemniscată polinomială sau curbă de nivel polinomială este o curbă algebrică^⁠(d) plană de gradul 2n, construită dintr-un polinom p cu coeficienți complecși de grad n.

$|z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1|=1$

Pentru orice astfel de polinom p și număr real pozitiv c, se poate defini un set de numere complexe prin $|p(z)|=c.$ Această mulțime de numere poate fi echivalată cu puncte din planul cartezian real, conducând la o curbă algebrică ƒ(x, y)  = c² de gradul 2n, care rezultă din dezvoltarea $p(z){\bar {p}}({\bar {z}})$ în termeni de $z=x+iy.$

Când p este un polinom de gradul 1, atunci curba rezultată este un cerc al cărui centru este zeroul lui p. Când p este un polinom de gradul 2, atunci curba este un oval Cassini^⁠(d).

Lemniscata Erdős

Lemniscata Erdős de gradul 10 și genul 6

O conjectură a lui Paul Erdős care a suscitat un interes considerabil se referă la lungimea maximă a unei lemniscate polinomiale ƒ(x, y) = 1 de gradul 2n când p este monic, despre care Erdős a presupus că a fost atins când p(z) = zⁿ − 1. Acest lucru încă nu este demonstrat, dar Alexander Fryntov și Fedor Nazarov au demonstrat că p are un maxim local. În cazul în care n = 2, lemniscata Erdős devine lemniscata lui Bernoulli

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\,$

și s-a demonstrat că aceasta este într-adevăr lungimea maximă pentru gradul 4. Lemniscata Erdős are trei singularități, dintre care una este în origine, și genul (n − 1)(n − 2)/2. Prin inversarea^⁠(d) lemniscatei Erdős în cercul unitate, se obține o curbă nesingulară de grad n.

Lemniscata polinomială generică

În general, o lemniscată polinomială nu se va atinge în origine și va avea doar două singularități ordinare, deci genul (n − 1)². Ca o curbă reală, poate avea un număr de componente neconexe. Prin urmare, nu va arăta ca o lemniscată, ceea ce face ca numele să fie o denumire greșită.

Un exemplu interesant de astfel de lemniscate polinomiale sunt curbele Mandelbrot. Dacă se face $p_{0}=z$ și $p_{n}=p_{n-1}^{2}+z,$ atunci lemniscatele polinomiale corespunzătoare M_n definite de $|p_{n}(z)|=2$ converg către frontiera mulțimii lui Mandelbrot. Curbele Mandelbrot sunt de gradul 2ⁿ⁺¹.

Bibliografie

• en Alexandre Eremenko, Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, no. 2, 409–415 [1]
• en O. S. Kusnetzova, V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 [2]