Număr nontotient

Un număr nontotient este un număr întreg pozitiv pentru care ecuația φ(x) = nu are soluții; cu alte cuvinte este nontotient dacă nu există un întreg care să aibă numere mai mici relativ prime.[1][2][3][4][5][6]

Primele numere nontotiente sunt:

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, ... [7]

Cele mai mici numere k astfel încât totientul lui k este n sunt (0 dacă nu există un astfel de k)

1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0, 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... [8]

Cele mai mari numere k astfel încât totientul lui k este n sunt (0 dacă nu există un astfel de k)

2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0, 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0, 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... [9]

Numărul de numere k astfel încât φ(k) = n sunt (începând cu n = 0)

0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... [10]

Conform Conjecturii lui Carmichael nu există 1 în acest șir.

Dacă p este un număr prim, atunci φ(p) = p − 1. De asemenea, un număr pronic n(n − 1) cu siguranță nu este un nontotient dacă n este un număr prim deoarece φ(p2) = p(p − 1).

Dacă un număr natural n este un totient, se poate demonstra că n*2k este un totient pentru toate numerele naturale k.

Există o infinitate de numere pare care sunt nontotiente: într-adevăr, există o infinitate de numere prime distincte p (cum ar fi 78557 și 271129, vezi număr Sierpinski) astfel încât toate numerele de forma 2ap să fie nontotiente, și fiecare număr impar are un multiplu par care este nontotient.

n numere k astfel încât φ(k) = n n numere k astfel încât φ(k) = n n numere k astfel încât φ(k) = n n numere k astfel încât φ(k) = n
1 1, 2 37 73 109
2 3, 4, 6 38 74 110 121, 242
3 39 75 111
4 5, 8, 10, 12 40 41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150 76 112 113, 145, 226, 232, 290, 348
5 41 77 113
6 7, 9, 14, 18 42 43, 49, 86, 98 78 79, 158 114
7 43 79 115
8 15, 16, 20, 24, 30 44 69, 92, 138 80 123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330 116 177, 236, 354
9 45 81 117
10 11, 22 46 47, 94 82 83, 166 118
11 47 83 119
12 13, 21, 26, 28, 36, 42 48 65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210 84 129, 147, 172, 196, 258, 294 120 143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450, 462
13 49 85 121
14 50 86 122
15 51 87 123
16 17, 32, 34, 40, 48, 60 52 53, 106 88 89, 115, 178, 184, 230, 276 124
17 53 89 125
18 19, 27, 38, 54 54 81, 162 90 126 127, 254
19 55 91 127
20 25, 33, 44, 50, 66 56 87, 116, 174 92 141, 188, 282 128 255, 256, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510
21 57 93 129
22 23, 46 58 59, 118 94 130 131, 262
23 59 95 131
24 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90 60 61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198 96 97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420 132 161, 201, 207, 268, 322, 402, 414
25 61 97 133
26 62 98 134
27 63 99 135
28 29, 58 64 85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240 100 101, 125, 202, 250 136 137, 274
29 65 101 137
30 31, 62 66 67, 134 102 103, 206 138 139, 278
31 67 103 139
32 51, 64, 68, 80, 96, 102, 120 68 104 159, 212, 318 140 213, 284, 426
33 69 105 141
34 70 71, 142 106 107, 214 142
35 71 107 143
36 37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126 72 73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270 108 109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378 144 185, 219, 273, 285, 292, 296, 304, 315, 364, 370, 380, 432, 438, 444, 456, 468, 504, 540, 546, 570, 630

Număr noncototientModificare

Un număr noncototient este un număr întreg pozitiv   pentru care ecuația x - φ(x) =   nu are soluții.[11]

Primele numere de acest fel sunt:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520

NoteModificare

  1. ^ Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi.
  2. ^ Două numere întregi m și n sunt coprime sau relativ prime dacă singurul lor divizor comun este 1, cu alte cuvinte cmmdc(m, n) = 1.
  3. ^ Zhang, Mingzhi (). „On nontotients”. Journal of Number Theory. 43 (2): 168–172. doi:10.1006/jnth.1993.1014. ISSN 0022-314X. Zbl 0772.11001. 
  4. ^ Guy, Richard K. (). Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. New York, NY: Springer-Verlag. p. 139. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001. 
  5. ^ L. Havelock, A Few Observations on Totient and Cototient Valence from PlanetMath
  6. ^ Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. p. 230. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001. 
  7. ^ Șirul A005277 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  8. ^ Șirul A049283 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  9. ^ Șirul A057635 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  10. ^ Șirul A014197 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  11. ^ Șirul A005278 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

Vezi șiModificare