Pătrat vedic

$\circ$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

În matematica indiană un pătrat Vedic este o variantă de tablă a înmulțirii 9 × 9 unde valoarea din fiecare căsuță este rădăcina digitală a produsului cifrelor din rândul și coloana căsuței, adică a restului împărțirii acestui produs la 9 (cu restul 0 înlocuit cu 9). Într-un pătrat vedic pot fi observate numeroase modele geometrice și simetrii, dintre care unele pot fi găsite în arta islamică tradițională.

Evidențierea poziției cifrelor în pătratul vedic dezvăluie aranjări distincte, fiecare cu o formă de simetrie de reflexie

Proprietăți algebrice

Pătratul Vedic poate fi privit ca tabla înmulțirii monoidului $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ unde $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ este mulțimea numerelor întregi pozitive împărțite în clase de resturi modulo nouă. (Operatorul $\circ$ se referă la înmulțirea abstractă dintre elementele acestui monoid).

Dacă $a,b$ sunt elementele $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ atunci $a\circ b$ poate fi definit ca $(a\times b)\mod {9}$, unde elementul 9 este folosit pentru clasa de reziduuri în loc de valoarea tradițională 0.

Acesta nu este un grup deoarece nu orice element diferit de zero are un element invers corespunzător; de exemplu $6\circ 3=9$ dar nu există $a\in \{1,\cdots ,9\}$ astfel încât $9\circ a=6.$.

Proprietăți ale subseturilor

$\circ$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Subsetul $\{1,2,4,5,7,8\}$ formează un grup ciclic cu 2 ca o alegere ca generator — acesta este grupul multiplicativ al unității dintr-un inel $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$. Fiecare coloană și rând conține toate cele șase numere — deci acest subset formează un pătrat latin.

De la două dimensiuni la trei

Un cub vedic este definit ca dispunerea fiecărei rădăcini digitale într-o tablă a înmulțirii tridimensională.

Pătrate vedice în alte baze de numerație

Pătrate vedică în bazele 100 (stânga) și 1000 (dreapta)

Pentru a analiza tiparele simetrice care apar, se pot calcula pătrate vedice în baze mai mari folosind calculul de mai sus, $(a\times b)\mod {({\textrm {base}}-1)}$. Imaginile din această secțiune sunt codificate prin culori, astfel încât o rădăcina digitală 1 este reprezentată printr-o culoare închisă, iar rădăcina digitală (baza-1) este reprezentată printr-o culoare deschisă.

Bibliografie

• en Deskins, W.E. (1996), Abstract Algebra, New York: Dover, pp. 162–167, ISBN 0-486-68888-7 
• en Pritchard, Chris (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press, pp. 119–122, ISBN 0-521-53162-4 
• en Ghannam, Talal (2012), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, pp. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1 
• en Teknomo, Kadi (2005), Digital Root: Vedic Square