Problema lui Brocard

Nu confundați cu Conjectura lui Brocard.

Problema lui Brocard este o problemă din matematică constând în întrebarea dacă există numere întregi, notate n și m, care pot satisface condiția:

$n!+1=m^{2},$

unde n! este factorialul numărului n.

Problema a fost descrisă de Henri Brocard în două articole publicate în anii 1876 și 1885, iar apoi independent în anul 1913 de către Srinivasa Ramanujan.

Numere Brown

Denumirea de numere Brown face referire la o pereche de numere (notate n, m) care satisfac condiția problemei lui Brocard. În prezent, se cunosc doar trei astfel de perechi de numere:

(4,5), (5,11) și (7,71).

Paul Erdős a publicat o conjectură conform căreia nu există nicio altă soluție în afară de acestea pentru problema lui Brocard. Overholt (1993) a arătat faptul că există un număr finit de soluții, considerând că conjectura abc este adevărată. Berndt & Galway (2000) au realizat calcule pentru valori ale lui n până la 10⁹ și nu au găsit alte soluții. Matson (2017) a extins căutările până la un trilion. Epstein & Glickman (2020) au extins căutările pentru soluții pănă la un cvadrilion, fără rezultate pozitive.

Variante ale problemei

Dabrowski (1996) a generalizat rezultatele lui Overholt, arătând faptul că (având la bază conjectura abd):

$n!+A=k^{2}$

prezintă un număr finit de soluții, pentru orice număr întreg A.

Rezultatul a fost în continuare generalizat de către Luca (2002), arătând faptul că ecuața:

$n!=P(x)$

prezintă un număr finit de soluții întregi, pentru orice polinom P(x) de gradul cel puțin egal cu 2 și cu coeficienți întregi.

Bibliografie

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), „The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²” (PDF), The Ramanujan Journal, 4: 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276 .
• Brocard, H. (1876), „Question 166”, Nouv. Corres. Math., 2: 287 .
• Brocard, H. (1885), „Question 1532”, Nouv. Ann. Math., 4: 391 .
• Dabrowski, A. (1996), „On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk., 14: 321–324 .
• Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository .
• Guy, R. K. (1994), „D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (ed. 2nd), New York: Springer-Verlag, pp. 193–194, ISBN 0-387-90593-6 .
• Luca, Florian (2002), „The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt” (PDF), Glasnik Matematički, 37 (57): 269–273 .
• Matson, Robert (2017), „Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues” (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, arhivat din original (PDF) la 6 octombrie 2018, accesat în 18 decembrie 2020  .
• Overholt, Marius (1993), „The diophantine equation n! + 1 = m²”, Bull. London Math. Soc., 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104 .

Legături externe

• Eric W. Weisstein, Brocard's Problem la MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Brown Numbers la MathWorld.
• Copeland, Ed. „Brown Numbers”. Numberphile. Brady Haran. Arhivat din original la 9 noiembrie 2014. Accesat în 6 aprilie 2013.