Proprietatea lui Darboux

(Redirecționat de la Proprietatea Darboux)

În analiza matematică, o funcție definită pe un interval al mulțimii numerelor reale și cu valori în aceasta are proprietatea lui Darboux[1] atunci când nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare. O astfel de funcție se mai numește și funcție Darboux. Denumirea reprezintă un omagiu adus matematicianului francez Jean Gaston Darboux, cel care a demonstrat că există funcții cu proprietatea lui Darboux care sunt discontinue[2]. Funcțiile Darboux pot fi chiar discontinue în orice punct[3].

Definiție, rezultate fundamentaleModificare

O funcție  , unde   este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice numere  , cu  , și   există (cel puțin) un număr   astfel încât  .

Orice funcție continuă, definită pe un interval, are proprietatea lui Darboux[4]. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema valorii intermediare.

O funcție  , unde   este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice subinterval   într-un interval,  [5].

O funcție are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice submulțime conexă a intervalului său de definiție într-o mulțime conexă[6].

O funcție  , unde   este un interval nevid, care este bijectivă și are proprietatea lui Darboux este strict monotonă[7].

Dacă o funcție Darboux este discontinuă, atunci discontinuitățile sale sunt de speța a doua. Un exemplu de funcție Darboux discontinuă este dat de  , cu formula   unde  .

Derivata   a unei funcții derivabile  , unde   este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux[8]. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema lui Darboux.

Dacă o funcție admite primitive, atunci ea este funcție Darboux.

NoteModificare

  1. ^ Nicolescu et al, p. 225
  2. ^ Darboux
  3. ^ Bruckner, Ceder
  4. ^ Nicolescu et al, p. 224
  5. ^ Nicolescu et al, p. 226
  6. ^ Nicolescu et al, p. 227
  7. ^ Nicolescu et al, ibid.
  8. ^ Nicolescu et al, p. 291

BibliografieModificare

  • Darboux, G. (), „Memoire sur les fonctions discontinues”, Ann. Sci. Scuola Norm. Sup., 4: 161–248 
  • Bruckner, A. M.; Ceder, J. C. (), „Darboux continuity”, Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 67: 93–117 
  • Nicolescu, M.; Dinculeanu, N.; Marcus, S. (), Analiză matematică, Volumul I (ed. a IV-a), București: Editura Didactică și Pedagogică 
  • „Darboux property”, Encyclopedia of Mathematics