Serie Taylor
În matematică, o serie Taylor este o reprezentare a unei funcții ca o sumă infinită de termeni calculați din valorile derivatelor acelei funcții într-un punct. Poate fi privită ca limită a polinoamelor Taylor. Seriile Taylor au fost numite astfel după matematicianul englez Brook Taylor. Dacă seria folosește derivatele în zero, atunci ea se numește serie Maclaurin, denumită astfel după matematicianul scoțian Colin Maclaurin.
Definiție
modificareSeria Taylor a unei funcții reale sau complexe f care este funcție indefinit derivabilă pe o vecinătate a unui număr real sau complex a, este seria de puteri
care poate fi scrisă în formă mai compactă ca
unde n! este factorialul lui n și f (n)(a) este a n-a derivată a lui f în punctul a; derivata zero a lui f este prin definiție f însăși și (x − a)0 și 0! sunt amândouă prin definiție 1.
Adesea f(x) este egală cu seria sa Taylor evaluată în x pentru orice x suficient de apropiat de a. Acesta este motivul principal pentru care sunt importante seriile Taylor.
Exemple
modificareSeria Maclaurin pentru orice polinom este polinomul însuși.
Seria Maclaurin pentru este seria geometrică
deci seria Taylor pentru în este
Integrând seria Maclaurin de mai sus se obține seria Maclaurin pentru , unde cu log s-a notat logaritmul natural:
și seria Taylor corespunzătoare pentru în este
Seria Maclaurin pentru funcția exponențială în este
Dezvoltarea de mai sus este valabilă deoarece derivata lui este chiar iar este 1. Aceasta lasă termenii la numărător și n! la numitor la fiecare termen al sumei infinite.
Seria MacLaurin pentru funcția logaritmică ln(x+1) este