Curbură scalară

(Redirecționat de la Curbura scalară)

În geometria riemanniană⁠(d), curbura scalară (sau scalarul Ricci) este cea mai simplă curbură invariantă a unei varietăți riemanniene⁠(d). Fiecărui punct al unei varietăți riemanniene, el atribuie un singur număr real determinat de geometria intrinsecă a varietății în apropierea acelui punct. Anume, curbura scalară reprezintă cantitatea cu care volumul unei mici bile geodezice dintr-o varietate riemanniană se abate de la cea a bilei standard din spațiul euclidian. În două dimensiuni, curbura scalară este dublul curburii gaussiene⁠(d) și caracterizează complet curbura unei suprafețe. Totuși, în mai mult de două dimensiuni, curbura varietăților riemanniene⁠(d) implică mai mult decât o cantitate independentă funcțional.

În relativitatea generală, curbura scalară este densitatea lagrangiană⁠(d) pentru acțiunea Einstein-Hilbert⁠(d) . Ecuațiile Euler-Lagrange⁠(d) pentru acest lagrangian sub variații ale metricii constituie ecuațiile lui Einstein în vid, iar metricile staționare sunt cunoscute ca metrici Einstein⁠(d). Curbura scalară a unei n-varietăți este definită ca urmă a tensorului Ricci și poate fi definită ca n(n−1) ori media curburilor secționale într-un punct.

La prima vedere, curbura scalară în dimensiune cel puțin 3 pare a fi un invariant slabă, cu puțină influență asupra geometriei globale a unei varietăți, dar, de fapt, unele teorii profunde dovedesc puterea curburii scalare. Un astfel de rezultat este teorema masei pozitive⁠(d) a lui Schoen⁠(d), Yau⁠(d) și Witten⁠(d). Rezultatele similare dau o înțelegere aproape completă a varietăților care au o metrică riemanniană cu curbură scalară pozitivă.

Definiție

modificare

Curbura scalară S (adesea notată și cu, R sau Sc ) este definită ca urmă a tensorului de curbură Ricci în raport cu metrica⁠(d):

 

Urma depinde de măsura în care tensorul Ricci este un tensor (0,2)-valent; mai întâi trebuie ridicat un indice⁠(d) pentru a obține un tensor (1,1) -valent căruia să i se ia urma. În termeni de coordonate locale se poate scrie

 

unde Rij sunt componentele tensorului Ricci în baza coordonatelor:

 

Dați fiind un sistem de coordonate și un tensor metric, curbură scalară poate fi exprimată după cum urmează:

 

Unde   sunt simbolurile Christoffel⁠(d) ale metricii  este derivata parțială a lui   în direcția coordonatei i.

Spre deosebire de tensorul de curbură Riemann sau de tensorul Ricci, ambele putând fi definite pentru orice conexiune afină⁠(d), curbura scalară necesită o metrică. Metrica poate fi pseudo-riemanniană⁠(d) în loc de riemanniană. Într-adevăr, o astfel de generalizare este vitală pentru teoria relativității. Mai general, tensorul Ricci poate fi definit în clasa mai largă a geometriilor metrice (prin intermediul interpretării geometrice directe, de mai jos) care include geometria Finsler⁠(d).

Interpretare geometrică directă

modificare

Când curbura scalară este pozitivă într-un punct, volumul unei mici bile în jurul punctului are un volum mai mic decât o bilă de aceeași rază în spațiul euclidian. Pe de altă parte, când curbura scalară este negativă într-un punct, volumul unei mici bile este mai mare decât în spațiul euclidian.

Acest lucru poate fi făcut mai cantitativ, pentru a caracteriza valoarea precisă a curburii scalare S într-un punct p al unei n-varietăți riemanniene (M, g) Anume, raportul volumului n-dimensional al unei bile de rază ε în varietate cu cel al unei bile corespunzătoare în spațiul euclidian este dat, pentru un ε mic, de

 

Astfel, derivata a doua a acestui raport, evaluată la raza ε = 0, este exact minus curbura scalară împărțită la 3(n + 2).

Limitele acestor bile sunt sfere (n−1)-dimensionale de rază ε; măsurile hypersuprafețelor lor („ariile”) satisfac următoarea ecuație:

 

Cazuri speciale

modificare

Suprafețe

modificare

În două dimensiuni, curbura scalară este exact de două ori mai mare decât curbura gaussiană. Pentru o suprafață încorporată în spațiul Euclidian  , aceasta înseamnă că

 

Unde ρ1, ρ2 sunt razele principale⁠(d) ale suprafeței. De exemplu, curbura scalară a 2-sferei de rază r este egală cu  .

Tensorul 2-dimensional de curbură riemann are doar o componentă independentă și poate fi exprimat în termeni de curbură scalară și a formei metrice de suprafață. Anume, în orice sistem de coordonate, avem

 

Forme spațiale

modificare

O formă spațială⁠(d) este, prin definiție, o varietate riemanniană cu curbură secțională constantă. Formele de spațiu sunt izometrice la nivel local cu unul dintre următoarele tipuri:

  • Spațiul euclidian: Tensorul Riemann al unui spațiu n-dimensional euclidian dispare identic, astfel încât la fel face și curbura scalară.
  • n-sfere: Curbura secțională a unei n-sfere de rază r este  . Prin urmare, curbura scalară este  .
  • Spațiul hiperbolic : Prin modelul hiperboloid⁠(d), un spațiu hiperbolic n-dimensional poate fi identificat cu submulțimea spațiului Minkowski (n+1)-dimensional
 
Parametrul r este un invariant geometric al spațiului hiperbolic, iar curbura secțională este  . Curbura scalară este astfel  .

Curbura scalară a unui produs⁠(d) M × N al varietăților riemanniene este suma curburilor scalare ale lui M și N. De exemplu, pentru orice varietate închisă⁠(d) diferențiabilă⁠(d) M, M × S 2 are o metrică a curburii scalare pozitive, pur și simplu luând 2-sfera ca fiind mică în comparație cu M (astfel încât curbura sa să fie mare). Acest exemplu ar putea sugera că curbura scalară are o slabă relație cu geometria globală a unei varietăți. De fapt, ea chiar are o semnificație globală, după cum este discutat mai jos .

Notație tradițională

modificare

Dintre cei care folosesc notația cu indici pentru tensori, este comună utilizarea literei R pentru a reprezenta trei lucruri diferite:

  1. tensorul de curbură Riemann:  sau  
  2. tensorul Ricci: Rij
  3. curbura scalară: R

Aceste trei sunt deosebite între ele prin numărul de indici: tensorul Riemann are patru indici, tensorul Ricci are doi, iar scalarul Ricci nu are indici. Cei care nu utilizează o notare cu indici, de obicei, rezervă R pentru tensorul de curbură Riemann. Alternativ, într-o notație fără coordonate se poate folosi Riem pentru tensorul Riemann, Ric pentru tensorul Ricci și R pentru curbura scalară.

Problema Yamabe

modificare

Problema Yamabe a fost rezolvată de Trudinger⁠(d), Aubin⁠(d) și Schoen. Anume, toate metricile riemanniene pe o varietate închisă poate fi înmulțite cu o funcție pozitivă diferențiabilă pentru a obține o metrică cu curbură scalară constantă. Cu alte cuvinte, toate metricile sunt conformale⁠(d) cu una care are curbură scalară constantă.

Curbura scalară pozitivă

modificare

Pentru o 2-varietate riemanniană închisă M, curbura scalară are o relație clară cu topologia lui M, exprimată prin teorema Gauss–Bonnet: curbura scalară totală M este egală cu ori caracteristica Euler a lui M. De exemplu, singurele suprafețe închise cu metrici de curbură scalară pozitivă sunt cele cu caracteristică Euler pozitivă: sfera S2 și RP2⁠(d) . De asemenea, cele două suprafețe nu au metrici cu curbură scalară ≤ 0.

Semnul curburii scalare are o relație mai slabă cu topologia în dimensiuni mai mari. Dată fiind o varietate diferențiabilă închisă M cu dimensiunea cel puțin 3, Kazdan⁠(d) și Warner au rezolvat problema curburii scalare prescrise⁠(d), descriind ce funcții diferențiabile pe M apar drept curburi scalare ale unei anumite metrici riemanniene pe M. Anume, M trebuie să fie exact unul din următoarele trei tipuri: [1]

  1. Orice funcție pe M este curbura scalară a unei anumite metrici pe M.
  2. O funcție pe M este curbura scalară a unei anumite metrici pe M dacă și numai dacă este identică zero sau negativă undeva.
  3. O funcție pe M este curbura scalară a unei anumite metrici pe M dacă și numai dacă este negativă undeva.

Astfel, orice varietate de dimensiune cel puțin 3 are o metrică cu curbură scalară negativă, de fapt cu curbură scalară constant negativă. Rezultatul lui Kazdan-Warner pune accentul pe întrebarea care varietăți au o metrică cu curbură scalară pozitivă, care este echivalentă cu proprietatea (1). Cazul la limită (2) poate fi descris ca fiind clasa de varietăți cu o metrică puternic scalar-plată, adică o metrică cu curbură scalară nulă astfel încât M să nu aibă nicio metrică cu curbură scalară pozitivă.

Se cunosc foarte multe despre varietățile netede închise care au valori cu curbură scalară pozitivă. În special, conform lui Gromov și Lawson⁠(d), orice varietate simplu conexă de dimensiune de cel puțin 5, care nu este spin⁠(d) are o valoare cu o curbură scalară pozitivă.[2] Prin contrast, Lichnerowicz⁠(d) a arătat că o varietate spin cu curbura scalară pozitivă trebuie să aibă un gen Â⁠(d) egal cu zero. Hitchin⁠(d) a arătat că o versiune mai rafinată a genului Â, α-invariantul, dispare și pentru varietăți spin cu curbură scalară pozitivă.[3] Acest lucru este netrivial doar în unele dimensiuni, deoarece α-invariantul al unei n-varietăți ia valori în grupul KOn⁠(d), enumerate aici:

Dimpotrivă, Stolz a arătat că orice varietate spin de dimensiune cel puțin 5 cu α-invarianți zero are o metrică cu curbura scalară pozitivă.[4]

Argumentul lui Lichnerowicz folosind operatorul Dirac⁠(d) a fost extins pentru a oferi numeroase restricții asupra varietăților care nu sunt simplu conexe și au curbura scalară pozitivă, prin teoria K a algebrelor C*⁠(d) . De exemplu, Gromov și Lawson au arătat că o varietate închisă care admite o metrică cu curbură secțională ≤ 0, cum ar fi un tor, nu are nicio metrică cu curbură scalară pozitivă.[5] În general, partea de injectivitate a conjecturii Baum-Connes⁠(d) pentru un grup G, cunoscută în multe cazuri, ar implica faptul că o varietate asferică⁠(d) închisă cu grupul fundamental⁠(d) G nu are nici o metrică cu curbura scalară pozitivă.[6]

Sunt rezultate speciale în dimensiunile 3 și 4. După munca lui Schoen, Yau, Gromov și Lawson, demonstrarea de către Perelman a teoremei de geometrizare⁠(d) a dus la un răspuns complet în dimensiunea 3: o 3-varietate orientată⁠(d) închisă are o metrică cu curbură scalară pozitivă dacă și numai dacă este sumă conexă⁠(d) de 3-varietăți sferice⁠(d) și copii ale lui S2 × S1.[7] În dimensiunea 4, curbura scalară pozitivă are implicații mai puternice decât în dimensiuni mai mari (chiar și pentru varietățile simplu conexe), folosind invarianții Seiberg-Witten⁠(d).[8]

În cele din urmă, Akito Futaki a arătat că valori puternic scalar-plate (așa cum sunt definite mai sus) sunt extrem de speciale. Pentru o varietate M de dimensiune de cel puțin 5, care este puternic scalar-plată, M trebuie să fie un produs al varietăților Riemannian cu grupul holonomic⁠(d) SU(n) (varietăți Calabi-Yau⁠(d)), Sp(n) (varietăți hiperkähler⁠(d)) sau Spin(7).[9] În special, aceste valori sunt Ricci-plate, nu doar scalar-plate. În schimb, există exemple de varietăți cu aceste grupuri de holonomie, cum ar fi suprafața K3⁠(d), care sunt spin și au α-invariant nenul, deci sunt puternic scalar-plate.

  1. ^ Besse (1987), Teorema 4.35.
  2. ^ Lawson & Michelsohn (1989), Teorema IV.4.4.
  3. ^ Lawson & Michelsohn (1989), Teorema II.8.12.
  4. ^ Stolz (2002), Teorema 2.4.
  5. ^ Lawson & Michelsohn (1989), corolarul IV.5.6.
  6. ^ Stolz (2002), Teorema 3.10.
  7. ^ Marques (2012), introducere.
  8. ^ LeBrun (1999), Teorema   1.
  9. ^ Petersen (2016), corolarul C.4.4.

Bibliografie

modificare
  • Einstein Manifolds, Springer⁠(d), , ISBN 3-540-15279-2, MR 0867684 
  • Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer⁠(d), [1995], ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653 
  • Spin Geometry, Princeton University Press, , ISBN 978-0-691-08542-5, MR 1031992 
  • „Kodaira dimension and the Yamabe problem”, Communications in Analysis and Geometry, 7, pp. 133–156, , arXiv:dg-ga/9702012 , doi:10.4310/CAG.1999.v7.n1.a5, MR 1674105 
  • „Deforming three-manifolds with positive scalar curvature”, Annals of Mathematics⁠(d), 176, pp. 815–863, , arXiv:0907.2444 , doi:10.4007/annals.2012.176.2.3, MR 2950765 
  • Riemannian Geometry, Springer⁠(d), [1998], ISBN 978-3-319-26652-7, MR 3469435 
  • „Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque”, Atti R. Inst. Veneto, 63 (2), pp. 1233–1239, , JFM 35.0145.01 
  • „Manifolds of positive scalar curvature”, Topology of High-Dimensional Manifolds (PDF), Trieste: ICTP, , pp. 661–709, MR 1937026