Modul factor

În algebră, fiind date un modul^⁠(d) și un submodul, se poate construi modulul factor al acestora. Această construcție, descrisă mai jos, este foarte asemănătoare cu cea a unui spațiu factor^⁠(d) vectorial. Diferă de construcțiile factor analoage ale inelelor și grupurilor prin faptul că în aceste cazuri subspațiul^⁠(d) care este utilizat pentru definirea factorului nu este de aceeași natură cu spațiul ambiental (adică un inel factor este câtul unui inel printr-un ideal, nu printr-un subinel, iar un grup factor este câtul unui grup printr-un subgrup normal, nu printr-un subgrup general). Fiind dat un modul A peste un inel R și un submodul B al lui A, spațiul factor^⁠(d) A/B este definit de relația de echivalență

$a\sim b\quad$ dacă și numai dacă $\quad b-a\in B,$

pentru orice a, b din A. Elementele lui A/B sunt clasele de echivalență^⁠(d) $[a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.$ Funcția $\pi :A\to A/B$ care trimite a din A cu clasa sa de echivalență a + B se numește aplicația factor sau aplicația de proiecție și este un homomorfism de module^⁠(d).

Adunarea pe A/B este definită pentru două clase de echivalență drept clasa de echivalență a sumei a doi reprezentanți din aceste clase. Și înmulțirea scalară a elementelor lui A/B cu elementele lui R este definită similar. De reținut că trebuie arătat că aceste operații sunt bine definite. Atunci A/B devine în sine un R-modul, numit modul factor. În simboluri, pentru orice a, b din A și r din R:

${\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}$

Exemple

Fie inelul de polinoame^⁠(d), $\mathbb {R} [X]$ cu coeficienți reali și $\mathbb {R} [X]{\text{-modulul}}$ $A=\mathbb {R} [X],$ . Fie submodulul

$B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]$

al lui A, adică submodulul tuturor polinoamelor divizibile cu $X^{2}+1$. Rezultă că relația de echivalență determinată de acest modul va fi

$P(X)\sim Q(X)\,$ dacă și numai dacă $P(X)$ și $Q(X)$ dau același rest la împărțirea cu $X^{2}+1.$

Prin urmare, în modulul factor $A/B,$ $X^{2}+1$ este la fel ca 0; astfel încât se poate privi $A/B$ așa cum este obținut din $\mathbb {R} [X]$ punând $X^{2}+1=0.$ Acest modul factor este izomorf în numerele complexe $\mathbb {C} ,$ privit ca un modul peste numerele reale $\mathbb {R} .$

Bibliografie

• en Roman, Steven (2008). Advanced linear algebra (ed. 3rd). New York: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0-387-72828-5.