Ordin (teoria inelelor)

noțiune din teoria inelelor

În matematică un ordin în sensul teoriei inelelor⁠(d) este un subinel al unui inel , astfel încât

  1. este o algebră finit-dimensională peste corpul numerelor raționale
  2. generează peste astfel încât și
  3. este o -latice⁠(d) în .

Ultimele două condiții pot fi enunțate în termeni mai puțin formali: în plus, este un grup abelian liber⁠(d) generat de baza peste .

În general, pentru un domeniu de integritate conținut în corpul , se definește ca fiind un ordin într-o -algebră dacă este un subinel al lui care este o -latice completă.[1]

Dacă nu este un inel comutativ, ideea de ordin este încă importantă, dar fenomenele sunt diferite. De exemplu, cuaternionii Hurwitz⁠(d) formează un ordin maximal între cuaternionii cu coordonate raționale; ei nu sunt cuaternioni cu coordonate întregi în sensul cel mai evident. Ordinele maximale există în general, dar nu trebuie să fie unice: în general nu există un cel mai mare ordin, ci un număr de ordine maximale.

Exemple de ordine:[2]

  • Dacă   este inelul de matrici⁠(d)   peste  , atunci inelul de matrici   peste   este un ordin   în  
  • Dacă   este un domeniu de integritate și   o extindere separabilă⁠(d) finită a lui  , atunci închiderea întreagă⁠(d)   din   în   este un ordin   în  .
  • Dacă   din   este un element întreg⁠(d) peste  , atunci inelul de polinoame⁠(d)   este un ordin   în algebra  
  • Dacă   este inelul⁠(d)   al unui grup finit  , atunci   este un ordin   pe  

O proprietate fundamentală a  -ordinelor este că fiecare element al unui  -ordin este un element întreg⁠(d) peste  [3]

Dacă închiderea întreagă   a   în   este un  -ordin, atunci acest rezultat arată că   trebuie să fie un  -ordin maximal în  . Totuși, această ipoteză nu este întotdeauna satisfăcută: într-adevăr,   nu trebuie să fie nici măcar un inel, și chiar dacă   este un inel (de exemplu, când   este comutativă), atunci   nu trebuie să fie o  -latice.[3]

Teoria algebrică a numerelor

modificare

Exemplul principal este cazul în care   este un corp de numere⁠(d)   iar   este inelul său de numere întregi. În teoria algebrică a numerelor⁠(d) există exemple pentru orice  , altul decât corpul rațional al subinelelor proprii ale inelului de numere întregi care sunt, de asemenea, ordine. De exemplu, în extinderea corpului   a numerelor raționale gaussiene⁠(d) peste  , închiderea întreagă a lui   este inelul numerelor întregi gaussiene⁠(d)   și deci aceasta este unicul  -ordin maximal: toate celelalte ordine din   sunt conținute în el, de exemplu subinelul numerelor complexe de forma  , cu   și   numere întregi.[4]

  1. ^ Reiner (2003) p. 108
  2. ^ Reiner (2003) pp. 108–109
  3. ^ a b Reiner (2003) p. 110
  4. ^ Pohst and Zassenhaus (1989) p. 22

Bibliografie

modificare
  • en Pohst, Michael; Zassenhaus, Hans (). Algorithmic Algebraic Number Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 30. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001. 
  • en Reiner, Irving (). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. 28. Oxford University Press. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.