Ordin (teoria inelelor)
În matematică un ordin în sensul teoriei inelelor(d) este un subinel al unui inel , astfel încât
- este o algebră finit-dimensională peste corpul numerelor raționale
- generează peste astfel încât și
- este o -latice(d) în .
Ultimele două condiții pot fi enunțate în termeni mai puțin formali: în plus, este un grup abelian liber(d) generat de baza peste .
În general, pentru un domeniu de integritate conținut în corpul , se definește ca fiind un ordin într-o -algebră dacă este un subinel al lui care este o -latice completă.[1]
Dacă nu este un inel comutativ, ideea de ordin este încă importantă, dar fenomenele sunt diferite. De exemplu, cuaternionii Hurwitz(d) formează un ordin maximal între cuaternionii cu coordonate raționale; ei nu sunt cuaternioni cu coordonate întregi în sensul cel mai evident. Ordinele maximale există în general, dar nu trebuie să fie unice: în general nu există un cel mai mare ordin, ci un număr de ordine maximale.
Exemple
modificareExemple de ordine:[2]
- Dacă este inelul de matrici(d) peste , atunci inelul de matrici peste este un ordin în
- Dacă este un domeniu de integritate și o extindere separabilă(d) finită a lui , atunci închiderea întreagă(d) din în este un ordin în .
- Dacă din este un element întreg(d) peste , atunci inelul de polinoame(d) este un ordin în algebra
- Dacă este inelul(d) al unui grup finit , atunci este un ordin pe
O proprietate fundamentală a -ordinelor este că fiecare element al unui -ordin este un element întreg(d) peste [3]
Dacă închiderea întreagă a în este un -ordin, atunci acest rezultat arată că trebuie să fie un -ordin maximal în . Totuși, această ipoteză nu este întotdeauna satisfăcută: într-adevăr, nu trebuie să fie nici măcar un inel, și chiar dacă este un inel (de exemplu, când este comutativă), atunci nu trebuie să fie o -latice.[3]
Teoria algebrică a numerelor
modificareExemplul principal este cazul în care este un corp de numere(d) iar este inelul său de numere întregi. În teoria algebrică a numerelor(d) există exemple pentru orice , altul decât corpul rațional al subinelelor proprii ale inelului de numere întregi care sunt, de asemenea, ordine. De exemplu, în extinderea corpului a numerelor raționale gaussiene(d) peste , închiderea întreagă a lui este inelul numerelor întregi gaussiene(d) și deci aceasta este unicul -ordin maximal: toate celelalte ordine din sunt conținute în el, de exemplu subinelul numerelor complexe de forma , cu și numere întregi.[4]
Note
modificareBibliografie
modificare- en Pohst, Michael; Zassenhaus, Hans (). Algorithmic Algebraic Number Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 30. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001.
- en Reiner, Irving (). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. 28. Oxford University Press. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.