Planul proiectiv complex

În matematică planul proiectiv complex, de obicei notat cu P²(C), este un spațiu proiectiv complex^⁠(d) bidimensional. Este o varietate complexă de dimensiune complexă 2, descrisă de trei coordonate complexe

$(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbf {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)$

unde, totuși, tripletele care diferă printr-o rescalare globală sunt identice:

$(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbf {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

Adică acestea sunt coordonate omogene în sensul tradițional al geometriei proiective.

Topologie

Numerele Betti^⁠(d) ale planului proiectiv complex sunt

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

Dimensiunea mijlocie 2 este explicată de clasa de omologie a dreptei proiective complexe (v. sfera Riemann), situată în plan. Grupurile de omotopie^⁠(d) netriviale ale planului proiectiv complex sunt $\pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z}$. Grupul fundamental este trivial și toate celelalte grupuri omotope din dimensiuni superioare sunt cele din 5-sfere, adică torsiune.

Geometrie algebrică

În geometria birațională^⁠(d) o suprafață rațională complexă este orice suprafață algebrică echivalentă birațional cu planul proiectiv complex. Se știe că orice varietate rațională nesingulară este obținută din plan printr-o succesiune de transformări care trebuie să fie de un tip foarte particular. Ca un caz particular, o cuadrică complexă nesingulară în P³ este obținută din plan prin deplasarea a două puncte pe curbe în spațiu și apoi revenirea în plan a dreptei care trece prin aceste două puncte; inversa acestei transformări poate fi văzută luând un punct P pe cuadrica Q, deplasându-l și proiectând pe un plan general în P³ prin trasarea dreptelor prin P.

Grupul de automorfisme biraționale ale planului proiectiv complex este grupul Cremona.

Geometrie diferențială

Ca o varietate riemanniană^⁠(d), planul proiectiv complex este o varietate 4-dimensională a cărei curbură secțională este înclinată pe sfert, dar nu în mod strict. Adică atinge ambele margini și astfel evită să fie o sferă, așa cum altfel ar cere teorema sferei. Normalizările rivale sunt pentru curbura între 1/4 și 1; alternativ, între 1 și 4. În ceea ce privește prima normalizare, suprafața încorporată definită de dreapta proiectivă complexă are curbura gaussiană^⁠(d) 1. În ceea ce privește cealaltă normalizare, planul proiectiv real încorporat are curbura gaussiană 1.

Bibliografie

• en C. E. Springer (1964) Geometry and Analysis of Projective Spaces, pages 140–3, W. H. Freeman and Company.

Vezi și

• Metrica Fubini–Study^⁠(d)