Geometria proiectivă este acel domeniu al geometriei care tratează figurile geometrice din punctul de vedere al perspectivei și al liniei de orizont, figuri care sunt considerate invariabile prin proiecție.

Cuprins

IstoricModificare

Originile se regăsesc în lucrările lui Pappus din Alexandria (secolul al IV-lea d.Hr.) care, referindu-se la rezultatele lui Apoloniu din Perga, introduce conceptul de raport anarmonic. Studiul geometriei proiective este reluat mai târziu de către matematicieni ca Pascal sau arhitecți ca Gérard Desargues în secolul al XVII-lea, ca acest domeniu să fie teoretizat și predat în școli la sfârșitul secolului al XVIII-lea de către Gaspard Monge.

Jean-Victor Poncelet, prin lucrarea sa, Traité des propriétés géométriques des figures, conferă un puternic avânt acestei științe, dar aceasta plecând de la geometria euclidiană. Totuși geometria afină excludea posibilitatea intersecției dreptelor paralele, noțiune esențială în geometria proiectivă. Dar descoperirile realizate în secolul al XIX-lea de August Ferdinand Möbius, Julius Plücker și mai ales cele ale lui Felix Klein către 1900, separă definitiv geometria proiectivă de cea euclidiană. Are loc și o revoluție conceptuală: Dacă până atunci geometria era o știință a figurilor, acum atenția se îndreaptă către transformările geometrice, către legile de compoziție interne asociate, structurile diverselor grupuri de transformări.

Caracteristici generaleModificare

Spre deosebire de geometria euclidiană, unde figurile se realizează cu rigla și compasul, în geometria proiectivă este necesară doar rigla. Geometria proiectivă nu ia în considerare paralelismul sau perpendicularitatea dreptelor, izometria, cercurile, triunghiurile isoscele sau echilaterale. Utilizează numai o parte din axiomele geometriei euclidiene.

Spațiul proiectivModificare

Spațiul proiectiv reprezintă ansamblul tuturor dreptelor vectoriale ale unui spațiu vectorial. Dacă ne imaginăm observatorul plasat în originea spațiului vectorial, atunci fiecărui element al spațiului îi corespunde o direcție a privirii acestuia.

Un spațiu proiectiv se diferențiază de un spațiu vectorial prin caracterul său omogen: nu conține niciun punct care poate fi considerat origine și prin aceasta se aseamănă cu spațiul afin.

Definiția vectorialăModificare

Fie   un K-spațiu vectorial (K fiind un corp, cum ar fi   sau  ), în niciun caz  . Definim pe   relația de echivalență :

 .

Numim spațiu proiectiv pe   mulțimea claselor de echivalență ale lui   prin relația de echivalență   :  . Pentru orice element   din   vom nota   ca fiind clasa sa de echivalență:  . Avem deci :   dacă și numai dacă   și   sont coliniare.

Aplicația   se numește proiecție canonică.

Putem spune mai simplu că spațiul proiectiv   este mulțimea dreptelor vectoriale ale lui ; elementul   al spațiului proiectiv este dreapta vectorială a lui   pentru care vectorul director este  .

Dacă   este de dimensiune finită   atunci spunem că   est de dimensiune finită:   fiind dimensiunea spațiului proiectiv. În particular:

  • Dacă n=1 atunci   are dimensiune nulă) ;
  • Dacă n=2 atunci   este un plan vectorial și   se numește dreaptă proiectivă.
  • Dacă n=3 atunci   se numește plan proiectiv.

Dacă spațiul   este un spațiu vectorial de dimensiune   "tipică" adică   atunci avem o notație specială pentru spațiul proiectiv   în loc de  .

Legături externeModificare