Sfera Riemann

model al planului complex extins plus punctul de la infinit
(Redirecționat de la Dreapta proiectivă complexă)

În matematică sfera Riemann, numită astfel după Bernhard Riemann,[1] este un model matematic al planului complex extins: planul complex plus un punct de la infinit. Acest plan extins reprezintă numerele complexe extinse, adică numerele complexe plus valoarea pentru infinit. Cu modelul Riemann, punctul este aproape de numere foarte mari, la fel cum punctul este aproape de numerele foarte mici.

Sfera Riemann poate fi vizualizată ca un plan complex aplicat pe o sferă (printr-o formă de proiecție stereografică — detaliile sunt date în articol)

Numerele complexe extinse sunt utile în analiza complexă deoarece în anumite circumstanțe permit împărțirea cu zero, într-un mod bine definit, care dă expresii precum . De exemplu, orice funcție rațională pe planul complex poate fi extinsă la o funcție olomorfă pe sfera Riemann, imaginile polilor funcției raționale fiind la infinit. În general, orice funcție meromorfă poate fi considerată ca o funcție olomorfă al cărei codomeniu este sfera Riemann.

În geometrie sfera Riemann este exemplul prototip al unei suprafețe Riemann⁠(d) și este una dintre cele mai simple varietăți complexe. În geometria proiectivă, sfera poate fi considerată ca fiind dreapta proiectivă complexă , spațiul proiectiv⁠(d) al tuturor dreptelor complexe din . Ca și în cazul oricărei suprafețe Riemann compacte, sfera poate fi văzută și ca o curbă algebrică⁠(d) proiectivă, făcând-o un exemplu fundamental în geometria algebrică. De asemenea, își găsește utilitate în alte discipline care depind de analiză și geometrie, cum ar fi sfera Bloch⁠(d) din mecanica cuantică și în alte ramuri ale fizicii.

Planul complex extins este numit și planul complex închis.

Numerele complexe extinse

modificare

Numerele complexe extinse constau din numerele complexe   împreună cu  . Mulțimea numerelor complexe extinse poate fi exprimată prin   și adesea este notată prin adăugarea unor diacritice la litera  , cum ar fi

 sau 

Notația   a fost folosită și ea, dar deoarece această notație este folosită și pentru planul perforat  , poate duce la ambiguități.[2]

Din punct de vedere geometric, mulțimea numerelor complexe extinse este denumită sfera Riemann (sau planul complex extins).

Operații aritmetice

modificare

Adunarea numerelor complexe extinse poate fi extinsă prin definirea pentru  ,

 

pentru orice număr complex  , iar înmulțirea poate fi extinsă prin

 

pentru orice număr complex   nenul, cu  . De notat că operațiile   și   sunt lăsate nedefinite. Spre deosebire de numerele complexe, numerele complexe extinse nu formează un corp deoarece   nu are nici un element opus și nici un element invers. Totuși, se obișnuiește să se definească împărțirea pe   prin

 și 

pentru toate numerele complexe   nenule precum și   și  . Câturile   și   rămân nedefinite.

Funcții raționale

modificare

Orice funcție rațională   (cu alte cuvinte,   este raportul funcțiilor polinomiale   și   din   cu coeficienți complecși, astfel încât   și   nu are vreun factor comun) poate fi extinsă la o funcție continuă pe sfera Riemann. Mai exact, dacă   este un număr complex astfel încât numitorul   este zero, dar numărătorul   este diferit de zero, atunci   poate fi definit ca find  . Mai mult,   poate fi definită ca limita lui   la  , limită care poate fi finită sau infinită.

Mulțimea funcțiilor raționale complexe — al căror simbol matematic este   — formează toate funcțiile olomorfe posibile în sfera Riemann pe ea însăși, când este privită ca o suprafață Riemann⁠(d), cu excepția funcției constante, care ia peste tot valoarea  . Funcțiile lui   formează un corp algebric, cunoscut drept corpul funcțiilor raționale pe sferă.

De exemplu, fiind dată funcția

 

se poate defini  , deoarece numitorul este zero la   iar   deoarece   pentru  . Folosind aceste definiții,   devine o funcție continuă în sfera Riemann pe ea însăși.

Ca varietate complexă

modificare

Ca o varietate complexă unidimensională, sfera Riemann poate fi descrisă prin două reprezentări, ambele având domeniul egal cu planul numeric complex  . Fie   un număr complex într-o copie a lui   și fie   un număr complex într-o altă copie a lui  . Se pune în corespondență fiecare număr complex   diferit de zero din primul   cu numărul complex   diferit de zero din cel de-al doilea  . Atunci aplicația

 

este numită aplicație de tranziție între cele două copii ale  , asociindu-le. Deoarece aplicațiile de tranziție sunt funcții olomorfe, ele definesc o varietate complexă, numită sfera Riemann. Ca o varietate complexă de 1 dimensiune complexă (adică 2 dimensiuni reale), aceasta se mai numește și „suprafață Riemann”.

Intuitiv, aplicațiile de tranziție indică cum se „lipesc” împreună două plane pentru a forma sfera Riemann. Planele sunt „lipite” într-o manieră „interior-exterior”, astfel încât să se suprapună aproape peste tot⁠(d), fiecare plan contribuind doar cu un punct (originea lui) lipsă din celălalt plan. Cu alte cuvinte, (aproape) orice punct din sfera Riemann are atât o valoare   cât și o valoare  , iar cele două valori sunt legate prin  . Punctul în care   ar trebui să aibă atunci valoarea   ”. În acest sens, originea reprezentării   joacă rolul de   în diagrama  . Simetric, originea reprezentării   joacă rolul de   în diagrama  .

Topologic, spațiul rezultat este compactificarea⁠(d) într-un punct a unui plan în sferă. Totuși, sfera Riemann nu este doar o sferă topologică. Este o sferă cu o structură complexă bine definită, astfel încât în jurul fiecărui punct al sferei există o vecinătate care poate fi identificată biolomorfic cu  .

Pe de altă parte, teorema de uniformizare⁠(d), un rezultat central în clasificarea suprafețelor Riemann, afirmă că fiecare suprafață Riemann simplu conexă este biolomorfă cu planul complex, planul hiperbolic sau sfera Riemann. Dintre acestea, sfera Riemann este singura care este o suprafață închisă (o suprafață compactă fără frontieră). Prin urmare, sfera bidimensională admite o structură complexă unică, transformând-o într-o varietate complexă unidimensională.

Ca dreaptă proiectivă complexă

modificare

Sfera Riemann poate fi definită și ca dreaptă proiectivă complexă. Punctele dreptei proiective complexe pot fi definite drept clase de echivalență⁠(d) ale vectorilor nenuli în spațiul vectorial complex  : doi vectori nenuli   și   sunt echivalenți dacă și numai dacă   pentru un coeficient   nenul.

În acest caz, clasa de echivalență este notată   folosind coordonate proiective. Fiind dat un punct   pe dreapta proiectivă complexă, unul dintre   și   trebuie să fie diferit de zero, fie  . Apoi, prin noțiunea de echivalență,  , care este într-o reprezentare a varietății sferei Riemann.[3]

Această tratare a sferei Riemann se conectează cel mai ușor cu geometria proiectivă. De exemplu, orice dreaptă (sau conică netedă⁠(d)) din planul proiectiv complex este biolomorfă cu dreapta proiectivă complexă. De asemenea, este convenabil pentru studierea automorfismelor sferei, inclusiv în acest articol.

Ca sferă

modificare
 
Proiecție stereografică a unui număr complex A pe un punct α al sferei Riemann

Sfera Riemann poate fi vizualizată ca sfera unitate   în spațiul real tridimensional  . În acest scop, se consideră proiecția stereografică din sfera unitate minus punctul   pe planul  , identificat cu planul complex  . În coordonatele carteziene   și coordonatele sferice   pe sferă (cu   unghiul zenital și   azimutul), proiecția este

 

Similar, proiecția stereografică de la   pe planul  , identificat cu o altă copie a planului complex prin  , este

 

Pentru a acoperi sfera unitate sunt necesare cele două proiecții stereografice: prima va acoperi întreaga sferă, cu excepția punctului   iar a doua cu excepția punctului  . Prin urmare, este nevoie de două plane complexe, câte unul pentru fiecare proiecție, care pot fi văzute intuitiv ca fiind „lipite” spate în spate în  . De reținut că cele două plane complexe sunt identificate diferit cu planul  . Pentru a menține o orientare consistentă pe sferă este necesară o orientare cu inversare. În particular, conjugarea complexă face ca aplicațiile de tranziție să fie olomorfe.

Aplicațiile de tranziție între coordonatele   și coordonatele   sunt obținute prin compunerea unei proiecții cu inversa celeilalte. Se dovedesc a fi   și   cum sunt descrise mai sus. Astfel, sfera unitate este difeomorfă cu sfera Riemann.

În cadrul acestui difeomorfism cercul unitate din diagrama  , cercul unitate din diagrama   și ecuatorul sferei unitate sunt toate identificate (unul și același). Discul unitate   este identic cu emisfera sudică  , în timp ce discul unitate   este identic cu emisfera nordică  .

Metrică

modificare

O suprafață Riemann nu este echipată cu vreo metrică riemanniană. Structura conformă a suprafeței Riemann determină totuși o clasă de metrici: toate acelea a căror structură conformă subordonată este cea dată. Mai detaliat: structura complexă a suprafeței Riemann determină în mod unic o metrică până la echivalența conformă⁠(d). (Se spune că două metrici sunt echivalente conform dacă diferă prin înmulțire cu o funcție netedă⁠(d) pozitivă.) În schimb, orice metrică de pe o suprafață orientată⁠(d) determină în mod unic o structură complexă, care depinde de metrică doar până la echivalența conformă. Structurile complexe de pe o suprafață orientată sunt, prin urmare, în corespondență biunivocă cu clasele conforme de metrici de pe acea suprafață.

Într-o clasă conformă dată se poate folosi simetria conformă pentru a găsi o metrică reprezentativă cu proprietăți convenabile. În special, există întotdeauna o metrică completă cu curbură constantă în orice clasă conformă dată.

În cazul sferei Riemann, teorema Gauss–Bonnet implică faptul că o metrică cu curbură constantă trebuie să aibă curbura gaussiană⁠(d)  . Rezultă că prin proiecție stereografică metrica trebuie să fie izometrică față de sfera cu raza   în  . În reprezentarea   pe sfera Riemann, metrica cu   este dată de

 

În coordonate reale  , formula este

 

Până la un factor constant, această metrică este în acord cu metrica Fubini–Study⁠(d) standard pentru spațiul proiectiv complex (din care sfera Riemann este un exemplu).

Până la scalare, aceasta este singura metrică de pe sferă al cărei grup de izometrii care consevă orientarea este tridimensională (și niciuna nu este mai mult decât tridimensională); acel grup se numește SO(3)⁠(d). În acest sens, aceasta este de departe cea mai simetrică metrică de pe sferă. (Grupul tuturor izometriilor, cunoscut sub numele de O(3), este, de asemenea, tridimensional, dar, spre deosebire de   nu este un spațiu conex.)

Invers, fie ca   să desemneze sfera (ca o varietate netedă sau o varietate topologică⁠(d) abstractă). Conform teoremei de uniformizare există o structură complexă unică pe   până la echivalența conformă. Rezultă că orice metrică de pe   este echivalentă conform cu metrica rotundă. Toate aceste metrici determină aceeași geometrie conformă. Prin urmare, metrica rotundă nu este intrinsecă sferei Riemann, deoarece „rotunjimea” nu este un invariant al geometriei conforme. Sfera Riemann este doar o varietate conformă, nu o varietate riemanniană⁠(d). Totuși, dacă este necesară o geometrie riemanniană pe sfera Riemann, metrica rotundă este o alegere naturală (cu orice rază fixă, deși raza   este cea mai simplă și mai comună alegere). Asta pentru că doar o metrică rotundă de pe sfera Riemann are grupul său de izometrie un grup tridimensional. (Și anume, grupul  , un grup continuu („Lie”) care topologic este spațiul proiectiv tridimensional  .)

Automorfisme

modificare
 
O transformare Möbius acționând pe sferă, respectiv pe plan prin proiecția stereografică

Studiul oricărui obiect matematic este ajutat de o înțelegere a grupului de automorfisme, adică aplicațiile de la obiect la el însuși care conservă structura esențială a obiectului. În cazul sferei Riemann, un automorfism este o aplicație conformă inversabilă (adică o aplicație biolomorfă) de la sfera Riemann la ea însăși. Se pare că singurele astfel de aplicații sunt transformările Möbius. Acestea sunt funcții de forma

 

unde  ,  ,   și   sunt numere complexe astfel încât  . Exemple de transformări Möbius sunt scalările, rotațiile, translațiile și inversarea complexă. De fapt, orice transformare Möbius poate fi scrisă ca o compunere a acestora.

Transformările Möbius sunt omografii⁠(d) pe dreapta proiectivă complexă. În coordonate proiective, transformarea f poate fi scrisă

 

Astfel, transformările Möbius pot fi descrise ca matrici complexe 2×2 cu determinantul diferit de zero. Deoarece acționează asupra coordonatelor proiective, două matrice produc aceeași transformare Möbius dacă și numai dacă diferă printr-un factor diferit de zero. Grupul transformărilor Möbius este grupul proiectiv liniar⁠(d)  .

Dacă se înzestrează sfera Riemann cu metrica Fubini–Study, atunci nu toate transformările Möbius sunt izometrii; de exemplu, scalările și translațiile nu sunt. Izometriile formează un subgrup propriu,  , și anume  . Acest subgrup este izomorf cu grupul de rotație  , care este grupul de simetrii al sferei unitate din   (care, când se limitează la sferă, devin izometriile sferei).

Aplicații

modificare

În analiza complexă, o funcție meromorfă pe planul complex (sau pe orice suprafață Riemann) este un raport   a două funcții olomorfe   și  . Ca aplicație a numerelor complexe, este nedefinită oriunde   este zero. Totuși, induce o aplicație olomorfă   pe dreapta proiectivă complexă care este bine definită chiar și acolo unde  . Această construcție este utilă în studiul funcțiilor olomorfe și meromorfe. De exemplu, pe o suprafață compactă Riemann nu există aplicații olomorfe neconstante pentru numerele complexe, dar aplicațiile olomorfe pe dreapta proiectivă complexă sunt abundente.

Sfera Riemann are multe utilizări în fizică. În mecanica cuantică, punctele de pe dreapta proiectivă complexă sunt valori naturale pentru stările de polarizare ale fotonilor, spinul particulelor subatomice masive de spin   și în general particule cu 2 stări (vezi și Qubit și sfera Bloch⁠(d)). Sfera Riemann a fost sugerată ca un model relativist pentru sfera cerească.[4] În teoria coardelor, suprafețele universului coardelor sunt suprafețe Riemann, iar sfera Riemann, fiind cea mai simplă suprafață Riemann, joacă un rol semnificativ. Este, de asemenea, importantă în teoria twistorilor⁠(d).

  1. ^ de B. Riemann: Theorie der Abel'sche Funktionen, J. Math. (Crelle) 1857; Werke 88-144. Numele este dat de Neumann C: Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelsche Integrale, Leipzig 1865 (Teubner)
  2. ^ en „C^*”. Arhivat din original la . Accesat în . 
  3. ^ en William Mark Goldman, (1999), Complex Hyperbolic Geometry, page 1, Clarendon Press ISBN: 0-19-853793-X
  4. ^ en R. Penrose (). The Road to Reality. Vintage books. pp. 428–430 (§18.5). ISBN 978-0-679-77631-4. 

Bibliografie

modificare

Legături externe

modificare