Difeomorfism

În matematică, un difeomorfism este un izomorfism din categoria mulțimilor netede. Difeomorfismul este o funcție inversabilă care asociază o mulțime diferențiabilă cu alta, astfel încât funcția și inversa ei sunt netede. Un superdifeomorfism (SDiff) este echivalentul unui difeomorfism pentru supermulțimi.

Imaginea unei reţele dreptunghiulare pe un pătrat sub un difeomorfism de la pătrat pe el însuşi.

Definiție

Fiind date două mulțimi M și N, o funcție bijectivă $f$ de la M la N este numită difeomorfism dacă:

$f:M\to N$

precum și inversa ei:

$f^{-1}:N\to M$

sunt diferențiabile. Dacă aceste funcții sunt de n ori continuu diferențiabile, f se numește $C^{n}$-difeomorfism.

Două mulțimi M și N sunt difeomorfice, simbolul uzual fiind $\simeq \,$, dacă există o funcție bijectivă $f$ de la M la N cu inversa netedă. Acestea sunt $C^{n}$-difeomorfice dacă există o funcție bijectivă diferențiabilă continuu de n ori între ele, și a cărei inversă este de asemenea diferențiabilă continuu de n ori.

Difeomorfismul submulțimilor

Fiind dată o submulțime X a mulțimii M și o submulțime Y a mulțimii N, o funcție $f:X\to Y\,$ este netedă dacă pentru toate elementele $p\in X\,$ există o vecinătate $U\subset M\,$ funcție de $p\,$ și o funcție netedă $g:U\to N\,$, astfel încât restricțiile corespund cu $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}\,$ (de notat ca g este o extensie a funcției f). Spunem că f este un difeomorfism dacă atât funcția cât și inversa ei sunt netede.

Descriere locală

Exemplu: dacă $U$ și $V$ sunt două submulțimi deschise simplu conexe din $\mathbb {R} ^{n}$, o funcție diferențiabilă $f$ de la $U$ la $V$ este un difeomorfism dacă:

• Diferențiala $Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,$ este bijectivă în fiecare punct $x\in U\,$.

Remarcă:

• Este esențial ca U să fie simplu conexă pentru funcția f, pentru ca aceasta să fie inversabilă global, adică, să fie derivabilă și bijectivă în fiecare punct.

De exemplu, considerăm funcția $f:U\ni (x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy)\in V\,$, în care $U=V=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. Atunci funcția $f$ este surjectivă și satisface $\det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0\,$ (astfel $Df_{x}\,$ este bijectivă în fiecare punct), dar $f$ nu este inversabilă, deoarece nu este injectivă, de exemplu, $f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)\,$.

• Deoarece diferențiala într-un punct: $Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V\,$ este o funcție diferențiabilă, are inversa bine definită dacă și numai dacă $Df_{x}\,$ este o bijecție. Reprezentarea matricei $Df_{x}\,$ este o matrice $n\times n\,$ care conține derivatele parțiale de ordinul întâi, astfel încât avem pe linia i și coloana j elementul $\partial f_{i}/\partial x_{j}\,$, matricea numindu-se și matricea Jacobiană.

• Difeomorfismele există numai între mulțimi care au aceeași dimensiune. Imaginați-vă că f merge de la dimensiunea $n\,$ la dimensiunea $k\,$. Presupunând că n < k, atunci $Df_{x}\,$ nu poate fi surjectivă, presupunând că n > k, atunci $Df_{x}\,$ nu poate fi surjectivă. Deci, în ambele cazuri $Df_{x}\,$ nu este o bijecție.

• Dacă $Df_{x}\,$ este o bijecție într-un punct x, atunci spunem că f este un difeomorfism local, deoarece prin continuitate $Df_{y}\,$ va fi de asemenea bijectivă pentru toate punctele y suficient de apropiate de x. Dacă $Df_{x}\,$ este o bijecție pentru toate punctele x, atunci spunem că f este un difeomorfism global.

• Dându-se o funcție netedă de la dimensiune n la dimensiune k, dacă $Df\,$ (resp. $Df_{x}\,$) este surjectivă, atunci spunem că f este o submersie ( resp. submersie locală), iar dacă $Df\,$ (resp. $Df_{x}\,$) este injectivă spunem că f este o imersie (resp. imersie locală).

• O bijecție diferențiabilă nu este în mod necesar un difeomorfism. De exemplu $f(x)=x^{3}\,$ nu este un difeomorfism de la $\mathbb {R}$ pe el însuși deoarece derivatele lui dispar în 0, iar inversa lui nu este diferențiabilă în 0. Acesta este un exemplu de homeomorfism care nu este un difeomorfism.

• Pentru ca f să fie difeomorfism, trebuie să avem condiții mai puternice decât cele pentru un homeomorfism atunci când f este o funcție între mulțimi diferențiabile. Pentru un difeomorfism trebuie ca f și inversa ei să fie diferențiabile. Pentru un homeomorfism cerem doar ca ele să fie continue. Astfel că, orice difeomorfism este un homeomorfism, dar reciproca este falsă, deci, nu orice homeomorfism este un difeomorfism.

Exemple

Deoarece orice mulțime poate fi local parametrizată, să considerăm câteva funcții explicite din spațiul bidimensional pe el însuși.

• Fie $f(x,y)=(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3})\,$. Matricea Jacobiană este:

$J_{f}=\left({\begin{array}{cc}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{array}}\right).$

Matricea Jacobiană are determinantul egal cu zero dacă și numai dacă $xy=0\,$. Constatăm că f este un difeomorfism oriunde pe axa x și axa y.

• Fie

$g(x,y)=(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots )$

în care $a_{i,j}\,$ și $b_{i,j}\,$ sunt numere reale arbitrare, iar termenii omiși sunt termeni în x și y de grade superioare. Să calculăm matricea Jacobiană în punctul 0:

$J_{g}(0,0)=\left({\begin{array}{cc}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{array}}\right).$

Constatăm că g este un difeomorphism local în 0 dacă și numai dacă, $a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0\,$, adică termenii linari din componența lui g sunt liniari independenți ca polinoame.

• Fie $h(x,y)=(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2}))\,$. Matricea Jacobiană este:

$J_{h}=\left({\begin{array}{cc}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{array}}\right).$

Se constată că matricea Jacobiană are peste tot determinatul zero! De fapt vedem că imaginea lui h este cercul unitate.

Grupul difeomorfismelor

Fie M o mulțime diferențiabilă. Grupul difeomorfismelor lui M este grupul tuturor Cⁿ difeomorfismelor lui M pe el însuși și se notează prin $Diff^{r}(M)\,$, sau $Diff(M)\,$ când r se subînțelege. Acesta este un grup larg, în sensul că nu este local compact, arătând că M nu este zerodimensional.

Topologie

Mulțimile difeomeorfice au două topologii naturale, numite topologie slabă și tare (Hirsch 1997). Când mulțimea este compactă, cele două topologii sunt în acord, iar topologia slabă este întotdeauna metrizabilă (adică, are metrică). Când mulțimea nu este compactă, topologia tare ține cont de comportamentul funcției la infinit și nu este metrizabilă, dar încă rămâne spațiu Baire.

Fixând o metrică Riemanniană pe o mulțime M, topologia slabă este topologia indusă de următoarea familie de metrice:

$d_{K}(f,g)=\sup _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum _{1\leq p\leq r}\sup _{x\in K}\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\|$

în care K variază peste subseturile compacte ale lui M. Într-adevăr, deoarece M este σ-compact, există o secvență K_n de sebseturi compacte a căror reuniune este M. Atunci, definim metrica:

$d(f,g)=\sum _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.$

Folosind funcția exponențială ca metrică Riemannienă pe M peste un subset compact din M, grupul difeomorfic înzestrat cu topologie slabă este local homeomorfic pe spațiul câmpului vectorial C^r (Leslie 1967). Dacă r este finit și mulțimea este compactă, spațiul câmpului vectorial este un spațiu Banach. Mai mult, funcția de trecere de la o diagramă la alta a acestei mulțimi este netedă, transformând grupul difeomorfic într-o mulțime Banach. Dacă r = ∞ sau dacă mulțimea este σ-compactă, spațiul câmpului vectorial este un spațiu Fréchet. Mai mult, funcția de trecere este netedă, transformând grupul difeomorfic într-o mulțime Fréchet.

Exemple

• Când M = G avem un grup Lie, existând o includere naturală a lui G în propriul lui grup difeomorfic via translației spre stânga. Fie Diff(G) un grup difeomorfic al lui G, atunci există o decompunere Diff(G) ≃ G × Diff(G,e), în care Diff(G,e) este un subgrup al lui Diff(G) care fixează elementul neutru al grupului.

• Grupul difeomorfic dintr-un spațiu Euclidian Rⁿ conține două elemente, una păstrând orientarea și cealaltă orientarea inversă a difeomorfismului. De fapt, grupul liniar general este o contracție prin deformație a subgupului difeomorfic Diff(G,0) care fixează originea prin funcția $f(x)\rightarrow f(tx)/t,t\in (0,1]$. În particular, grupul liniar general este de asemenea o contracție prin deformare a întregului grup difeomorfic.

• Pentru un set finit de puncte, grupul difeomorfic este pur și simplu grupul simetric. Similar, dacă M este o mulțime oarecare există un grup extensiv: 0 → Diff₀(M) → Diff(M) → Σ(π₀M. Aici Diff₀(M) este un subgrup a lui $Diff(M)$ care conservă toate componentele lui M, iar Σ(π₀M) este grupul permutărilor setului π₀M (componentele lui M). Mai mult, imaginea funcției Diff(M) → Σ(π₀M) este o bijecție a lui π₀M care conservă clasa difeomorfică.

Tranzitivitate

Pentru mulțimi conexe M grupul difeomorfic acționează în mod tranzitiv pe M. Mai general, grupul difeomorfic acționează în mod tranzitiv pe spațiul configurațiilor C_kM. Dacă M are cel puțin dimensiunea doi, grupul difeomorfic acționează în mod tranzitiv pe spațiul configurațiilor F_kM, acțiunea asupra lui M fiind tranzitiv multiplă.

Extensii ale difeomorfismelor

În 1926, Tibor Radó a pus întrebarea dacă extensia armonică a oricărui homeomorfism sau difeomorfism al cercului unitate pe discul unitate duce la obținerea unui difeomorfism pe un disc deschis. O elegantă demonstrație a fost dată de Hellmuth Kneser, iar o alta complet diferită a fost dată de Gustave Choquet în 1945, aparent fără să știe că teorema era deja cunoscută.

Grupul difeomorfic al cercului (care conservă orientarea) este liniar conex. Acest lucru se poate vedea din faptul că orice astfel de difeomorfism poate fi adus la un difeomorfism f de reali care satisfac relația f(x+1) = f(x) +1, acest spațiu fiind un spațiu convex și deci liniar conex. O constantă eventual netedă cu privire la identitate dă al doilea mod elementar de extindere a unui difeomorfism de la cerc la discul unitate deschis, acesta fiind un caz special al trucului lui Alexander. Mai mult, grupul difeomorfic al cercului are tipul de topologie al grupului ortogonal $O_{2}$.

Problemele corespunzătoare de extensie a difeomorfismelor la sfere de dimensiuni înalte Sⁿ⁻¹ au fost mult studiate între anii 1950 și 1960, cu contribuțiile notabile ale lui René Thom, John Milnor și Stephen Smale. O piedică în calea unor astfel de extinderi o reprezintă grupul Abelian finit Γ_n, de fapt grupul sferelor torsionate, definit drept coeficientul grupului component Abelian al grupului difeomorfic prin subgrupul extinderii claselor la difeomorfismele sferelor Bⁿ.

Tipuri topologice

• Grupul difeomorfic $S^{2}$ are tipul topologic al subgrupului $O_{3}$. Acest lucru a fost demonstrat de Steve Smale .

• Grupul difeomorfic al torului are tipul topologic al propriului automorfism liniar: $(S^{1})^{2}\times GL_{2}(\mathbb {Z} )$.

• Grupurile difeomorfice ale suprafețelor orientabile de genul $g>1$ au tipul topologic al propriilor grupuri ale claselor de funcții, adică componentele lor se pot contracta.

• Tipul topologic al grupurilor difeomorfice al mulțimilor 3D sunt bine înțelese datorită lucrărilor lui Ivanov, Hatcher, Gabai și Rubinstein cu toate că există un număr de probleme rămase deschise, precum mulțimile 3D care au grupuri fundamentale finite.

• Tipul topologic al grupurilor difeomorfice al mulțimilor n-dimensionale, pentru $n>3$, sunt slab înțelese. De exemplu, este încă o problemă deschisă dacă $Diff(S^{4})$ are sau nu mai mult de două componente. Dar, datorită lucrărilor lui Milnor, Kahn și Antonelli se știe că $Diff(S^{n})$ nu are tipul topologic al complexului CW finit demonstrat pentru $n\geq 7$.

Homeomorfism și difeomorfism

Este ușor de găsit un homeomorfism care nu este difeomorfism, dar este mai dificil de a găsi o pereche de mulțimi homeomorfe care nu este difeomorfic. În spațiile 1D, 2D și 3D orice pereche de mulțimi netede homeomorfice este difeomorfică. În spații 4D sau mai mari, au fost găsite exemple de perechi homeomorfice care nu sunt difeomorfice. Primul exemplu de acest fel a fost construit de John Milnor în 7D. El a construit o mulțime netedă în 7D, numită acum sfera lui Milnor care este homeomorfă după standardul 7D, dar nu este difeomorfică. Există de fapt 28 de clase de difeomorfisme orientate ale mulțimilor homeomorfice pe o 7-sferă, fiecare din ele fiind un spațiu total al spațiului vectorial fibrat peste o 4-sferă, cu fibraj de 3-sferă.

Mai mult, fenomene exterme apar pentru mulțimi 4D. La începutul anilor `80, o combinație a rezultatelor obținute de Simon Donaldson și Michael Freedman au condus la descoperirea a ceea ce se numește R4 exotic. De asemenea, există multe subseturi liniare deschise nedifeomorfice pe $\mathbb {R} ^{4}$, fiecare fiind homeomorfică pe $\mathbb {R} ^{4}$, și de asemenea există multe mulțimi liniare diferențiabile ne-difeomorfice dar homeomorfice pe $\mathbb {R} ^{4}$ care nu încorporează mulțimile netede din $\mathbb {R} ^{4}$.

Bibliografie

• en Chaudhuri, Shyamoli, Hakuru Kawai and S.-H Henry Tye. "Path-integral formulation of closed strings," Phys. Rev. D, 36: 1148, 1987.
• en Banyaga, Augustin (1997), The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8 
• en Duren, Peter L. (2004), Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, 156, Cambridge University Press, ISBN 0521641217 
• en Hirsch, Morris (1997), Differential Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90148-0 
• en Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, 53, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3 
• en Leslie, J. A. (1967), „On a differential structure for the group of diffeomorphisms”, Topology. An International Journal of Mathematics, 6: 263–271, ISSN 0040-9383, MR0210147 
• en Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, ISBN 0821842307 
• en Omori, Hideki (1997), Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, 158, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4575-6 

Vezi și

• Difeomorfism local
• Superdifeomorfism