Poliedru flexibil

În geometrie un poliedru flexibil este un poliedru al cărui formă poate fi schimbată continuu, păstrând neschimbate formele tuturor fețelor sale. Teorema rigidității a lui Cauchy arată că în spațiul tridimensional un astfel de poliedru nu poate fi convex (acest lucru este valabil și în dimensiuni superioare).

Poliedrul lui Steffen, cel mai simplu poliedru flexibil care nu se autointersectează

Primele exemple de poliedre flexibile, numite acum octaedre Bricard, au fost descoperite de Raoul Bricard în 1897. Sunt suprafețe care se autointersectează izometric ale unui octaedru. Primul exemplu de poliedru flexibil care nu se autointersectează în $\mathbb {R} ^{3}$, sfera Connelly, a fost descoperit de Robert Connelly în 1977. Poliedrul lui Steffen este alt poliedru flexibil care nu se autointersectează derivat din octaedrul lui Bricard.

Conjectura burdufului

La sfârșitul anilor 1970, Robert Connelly și Denis Sullivan au formulat „conjectura burdufului” afirmând că volumul unui poliedru flexibil este invariant^⁠(d) la flexare. Această conjectură a fost demonstrată pentru poliedre homeomorfe^⁠(d) cu o sferă de către Sabitov folosind teoria eliminării, iar apoi s-a demonstrat pentru suprafețe poliedrice bidimensionale generale orientabile. Demonstrația extinde formula lui Piero della Francesca pentru volumul unui tetraedru la o formulă pentru volumul oricărui poliedru. Formula extinsă arată că volumul trebuie să fie o rădăcină a unui polinom ai cărui coeficienți depind doar de lungimile laturilor poliedrului. Deoarece lungimile laturilor nu se pot schimba pe măsură ce poliedrul se flexează, volumul trebuie să rămână una dintre rădăcinile finite ale polinomului.

Congruență prin divizare

Connelly a conjecturat că invariantul Dehn^⁠(d) al unui poliedru flexibil este invariant la flexare. Aceasta a fost cunoscută sub numele de „conjectura tare a burdufului” sau (după ce a fost demonstrată în 2018) „teorema tare a burdufului”. Deoarece toate configurațiile unui poliedru flexibil au atât același volum, cât și același invariant Dehn, ele sunt congruente una cu cealaltă în urma divizării, ceea ce înseamnă că pentru oricare dintre aceste configurații este posibilă divizarea uneia dintre ele în bucăți poliedrice care pot fi reasamblate pentru a o forma pe cealaltă. Curbarea totală a unui poliedru flexibil, definită ca suma produselor lungimii muchiilor cu unghiurile diedrice exterioare, este o funcție a invariantului Dehn despre care se știe că rămâne constantă în timp ce poliedrul este flexat.

Generalizări

4-politopuri flexibile în spațiul euclidian cvadridimensional și spațiul hiperbolic tridimensional au fost studiate de către Hellmuth Stachel în 2000. Pentru $n\geq 5$ dimensiuni, politopuri flexibile au fost construite de Gaifullin în 2014.

Bibliografie

• en Alexander, Ralph (1985), „Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I”, Transactions of the American Mathematical Society, 288 (2): 661–678, doi:10.2307/1999957 , JSTOR 1999957, MR 0776397 
• en Alexandrov, Victor (2010), „The Dehn invariants of the Bricard octahedra”, Journal of Geometry, 99 (1–2): 1–13, arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7, MR 2823098 
• fr Bricard, Raoul (1897), „Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé”, J. Math. Pures Appl., 5 (3): 113–148, arhivat din original la 16 februarie 2012, accesat în 27 iulie 2008 
• en Connelly, Robert (1977), „A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra”, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 47 (47): 333–338, doi:10.1007/BF02684342, ISSN 1618-1913, MR 0488071 
• en Connelly, Robert; Sabitov, I.; Walz, Anke (1997), „The bellows conjecture”, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 38 (1): 1–10, ISSN 0138-4821, MR 1447981 
• en Gaifullin, Alexander A. (2014), „Flexible cross-polytopes in spaces of constant curvature”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 286 (1): 77–113, arXiv:1312.7608 , doi:10.1134/S0081543814060066, MR 3482593 
• en Gaifullin, A. A.; Ignashchenko, L. S. (2018), „Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra”, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi:10.1134/S0371968518030068, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642 
• en Sabitov, I.H. (1995), „On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron”, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316, MR 1339277 
• en Stachel, Hellmuth (2006), „Flexible octahedra in the hyperbolic space”, În A. Prékopa; et al., Non-Euclidean geometries (János Bolyai memorial volume), Mathematics and its Applications, 581, New York: Springer, pp. 209–225, CiteSeerX 10.1.1.5.8283 , doi:10.1007/0-387-29555-0_11, ISBN 978-0-387-29554-1, MR 2191249 
• en Stachel, Hellmuth (2000), „Flexible cross-polytopes in the Euclidean 4-space” (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 4 (2): 159–167, MR 1829540 
• en Connelly, Robert (1979), „The rigidity of polyhedral surfaces”, Mathematics Magazine, 52 (5): 275–283, doi:10.2307/2689778, JSTOR 2689778, MR 0551682 
• en Connelly, Robert (1981), „Flexing surfaces”, În Klarner, David A., The Mathematical Gardner, Springer, pp. 79–89, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10, ISBN 978-1-4684-6688-1 
• en Connelly, Robert (1993), „Rigidity” (PDF), Handbook of convex geometry, Vol. A, B, Amsterdam: North-Holland, pp. 223–271, MR 1242981 
• en Demaine, Erik; O'Rourke, Joseph (2007), „23.2 Flexible polyhedra”, Geometric Folding Algorithms, Cambridge University Press, Cambridge, pp. 345–348, doi:10.1017/CBO9780511735172, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878 
• en Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), „Lecture 25. Flexible polyhedra”, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 345–360, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979 

Vezi și

• Flexagon

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Flexible polyhedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Bellows conjecture la MathWorld.