Algebră Grassmann

Algebra Grassmann sau algebră exterioară (a unui spațiu vectorial real finit-dimensional $V$ ) este o $\mathbb {R}$-algebră asociativă cu element 1, notată $\Lambda (V)$, cu proprietățile:

• $V$ este un subspațiu vectorial al lui $\Lambda (V)$ și $v\wedge v=0$ pentru orice $v\in V,$ unde prin $\wedge$ se notează înmulțirea în $\Lambda (V)$;
• algebra $\Lambda (V)$ este generată de elementul unitate împreună cu elementele lui $V$ ;
• $\Lambda (V)$ este un spațiu vectorial de dimensiune $2^{n},$ unde $n$ este dimensiunea lui $V$.

Nmele provine de la matematicianul Hermann Grassmann care, în 1846, a introdus așa-numitele mărimi extensive, precursoare ale multivectorilor de mai târziu.

Construcția unei algebre Grassmann

Pentru a construi o astfel de algebră, se consideră spațiul vectorial $V^{*}:=Hom_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )$, care este dualul spațiului vectorial $V$ adică spațiul tuturor funcționalelor (formelor) liniare pe $V.$

Definiție. Dacă $W,V_{1},V_{2},\cdots ,V_{p}$ sunt spații vectoriale, o aplicație $f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{p}\longrightarrow W$ se numește aplicație $p$-liniară (sau aplicație multiliniară de grad $p$) dacă, pentru orice $i\in \{1,2,\cdots ,p\}$ și orice sistem de vectori $v_{j}\in V_{j},j\neq i$, aplicație parțială

$V_{i}\ni v\mapsto f(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\cdots ,v_{p})\in W$

este liniară.

Definiție. O aplicație multiliniară de grad $p=2$ se numește aplicație biliniară.

Definiție. Se numește p-tensor covariant (sau tensor covariant de grad p sau funcțională multiliniară de grad p sau formă p-liniară) pe $V$ orice aplicație p-liniară $f:V^{p}\to \mathbb {R} .$

Mulțimea tuturor p-tensorilor covarianți pe spațiul vectorial $V$ are o structură evidentă de spațiui vectorial; acest spațiu vectorial se notează prin $T^{p}(V^{*})$ și se numește a p-a putere tensorială a lui $V^{*}.$

Există relația $T^{1}(V^{*})=V^{*}$ și se pune, prin definiție, $T^{0}(V^{*}):=\mathbb {R}$ adică un tensor covariant de grad zero pe $V$ este un număr real. În fine, se pune:

$T(V^{*}):=\bigoplus _{p\geq 0}T^{p}(V^{*})\;$ (suma directă de spații vectoriale).

Definiție. Dacă $p,q\in \mathbb {N}$, produsul tensorial a doi tensori covarianți $f\in T^{p}(V^{*})$ și $g\in T^{q}(V^{*})$ este tensorul covariant $f\otimes g\in T^{p+q}(V^{*})$ definit prin:

$(f\otimes )g(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p+q})=f(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p})g(v_{p+1},v_{p+2},\cdots ,v_{p+q})$

pentru $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p+q}\in V.$

Când $p=0,\;f=c\in \mathbb {R}$ și se pune $f\bigotimes g=cg;$ în mod similar se tratează cazul $q=0.$ Produsul tensorial este o operație biliniară și asociativă, dar necomutativă în grade $p,q\geq 1.$ Această operație se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial $T(V^{*}),$ care face din acest spațiu vectorial o $\mathbb {R} -$algebră, numită algebră tensorială a lui $V^{*}.$ Pentru orice $p\in \mathbb {N} ,$ grupul $S_{p}$ al permutărilor mulțimii $\{1,2,\cdots ,p\}$ acționează la stânga pe spațiul vectorial $T^{p}(V^{*})$ prin aplicația $S_{p}\times T^{p}(V^{*})\ni (\sigma ,f)\mapsto \sigma f\in T^{p}(V^{*})$ definită prin:

$\sigma (v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}):=f(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\cdots ,v_{\sigma (p)})$

pentru orice $p-$uplu de vectori $v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}\in V.$ Un $p-$tensor covariant $f$ pe spațiul vectorial $V$ se numește alternant (sau exterior) dacă $\sigma f=\varepsilon (\sigma )f$ pentru orice $\sigma \in S_{p},$ unde $\varepsilon (\sigma )$ este semnul permutării $\sigma$ adică $\varepsilon (\sigma )=1$ când $\sigma$ este pară și $\varepsilon (\sigma )=-1$ când $\sigma$ este impară.

Mulțimea tuturor $p-$tensorilor covarianți alternanți pe $V$ este un subspațiu vectorial al lui $T^{p}(V^{*})$, care se notează prin $\wedge ^{p}(V^{*})$ și se numește puterea exterioară de grad $p$ al lui $V^{*}$. Există relația: $\wedge ^{1}(V^{*})=T^{1}(V^{*})=V^{*}$ și se pune, prin definiție, $\wedge ^{0}(V^{*}):=T^{0}(V^{*})=\mathbb {R} .$ În fine, se pune:

$\wedge (V^{*})=\bigoplus _{p\geq 0}\wedge ^{p}(V^{*})$ (sumă directă de spații vectoriale).

Definiție. Pentru orice număr natural $p$ se definește o aplicație liniară $Alt:T^{p}(V^{*})\to T^{p}(V^{*})$, numită aplicația de alternare, definită prin:

$Alt({\mathit {f}}):={\frac {1}{p!}}\sum _{\sigma \in S_{p}}\varepsilon (\sigma )\sigma f.$

Această aplicație posedă proprietățile:

1. Pentru orice $f\in T^{p}(V^{*}),$ rezultă $Alt(f)\in \Lambda \;^{p}(V^{*});$
2. Dacă $f\in \Lambda \;^{p}(V^{*}),$ atunci $Alt(f)=f;$
3. $Alt(\sigma f)=\varepsilon (\sigma )Alt(f);$
4. $Alt(Alt(f)\otimes g)=Alt(f\otimes Alt(g))=Alt(f\otimes g)$ pentru $f\in T^{p}(V^{*})$ și $g\in T^{q}(V^{*});$
5. $Alt(g\otimes f)=(-1)^{pq}Alt(f\otimes g)$ pentru $f\in T^{p}(V^{*})$ și $g\in T^{q}(V^{*}).$

Definiție. Dacă $p,q\in \mathbb {N} ,$ produsul exterior a doi tensori alternați $f\in \Lambda ^{p}(V^{*})$ și $g\in \Lambda ^{q}(V^{*})$ este tensorul alternat $f\wedge g\in \Lambda ^{p+q}(V^{*})$ definit prin:

$f\wedge g={\frac {(p+q)!}{p!q!}}\cdot Alt(f\otimes g)={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\varepsilon (\sigma )\sigma (f\otimes g).$

Când $p=0,\;f=c\in \mathbb {R}$ și se pune $c\wedge g=cg;$ în mod similar se tratează cazul $q=0.$ Produsul exterior este o operație biliniară, asociativă și, în plus, anticomutativă, adică $f\wedge g=(-1)^{pq}g\wedge p$ dacă $f$ este de grad $p$ și $g$ de grad $q;$ în particular, $f\wedge f=0$ când $f$ este de grad impar. Se observă că dacă $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{N}$ sunt tensori alternați pe $V$ de grade $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}$ respectiv, atunci:

$f_{1}\wedge f_{2}\wedge \cdots \wedge f_{N}={\frac {(p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{N})!}{p_{1}!p_{2}!\cdots p_{N}!}}\cdot Alt(f_{1}\otimes f_{2}\otimes \cdots \otimes f_{N}).$

Produsul exterior se extinde prin liniaritate la o înmulțire pe spațiul vectorial $\Lambda (V^{*})$ și face din acest spațiu vectorial o $\mathbb {R}$-algebră, numită algebra Grassmann a lui $V^{*}.$

Teoreme

Teorema bazei. Dacă $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}$ este un reper al lui $V^{*}$, atunci produsele exterioare de forma $f_{i_{1}}\wedge f_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge f_{i_{p}}$ cu $1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{p}\leq n$ formează un reper în spațiul vectorial $\Lambda ^{p}(V^{*})$; în particular acest spațiu vectorial are dimensiunea $C_{n}^{p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}$ când $0\leq p\leq n$ și $C_{n}^{p}:=0$ când $p>n$, deci spațiul vectorial $\Lambda (V^{*})$ este de dimensiune $2^{n}.$

Dacă $W$ este un alt spațiu vectorial de dimensiune finită, se asociază fiecărei aplicații liniare $A:W\to V$ un morfism de $\mathbb {R} -$algebre $A^{*}:\Lambda (V^{*})\to \Lambda (W^{*})$ definit, pentru orice $f\in \Lambda ^{p}(V^{*})$, prin $A^{*}(f):=f\circ A^{p}$, unde $A^{p}:=A\times A\times \cdots \times A$ (de p ori), când $p\ ge1$ și $A^{*}(f):=f$ când $p=0$; tensorul alternant $A^{*}(f)$ are același grad cu $f$ și se numește imaginea inversă a lui f prin aplicația liniară $A.$ Aplicațiile $V\mapsto \Lambda (V^{*})$ și $\mapsto A^{*}$ definesc un vector contravariant de la spații vectoriale de dimensiune finită la $\mathbb {R} -$algebre.

Teorema determinantului'. Dacă $A$ este un endomorfism al lui $V,$ atunci pentru orice n-tensor alternant f pe $V,$ unde n este dimensiunea lui $V$, există relația: $A^{*}(f)=det(A)f.$

Având în vedere că determinantul $detA$ al unui endomorfism $A$ al lui $V$ se definește folosind un reper al lui $V$ care identifică $V$ cu $\mathbb {R} ^{n}$ (definiție care nu depinde de alegerea acestui reper), se poate realiza o construcție a algebrei exterioare a lui $V$ astfel:

Fie $V^{**}:=Hom(V^{*},\mathbb {R} )$ dualul lui $V^{*}$; aplicația $V\ni v\mapsto v^{**}\in V^{**}$, definită prin $v^{**}(f):=f(v)$ pentru $f\in V^{*}$, este un izomorfism de spații vectoriale. Acest izomorfism se utilizează pentru a identifica spațiile vectoriale $V$ și $V^{**}$.

Vom defini deci algebra exterioară a lui $V$ punând $\Lambda ^{p}(V):=\Lambda ^{p}(V^{**})$ pentru orice $p\geq 0$ și deci $\Lambda (V):=\Lambda (V^{**})$. Aplicația canonică $\theta :V^{*p}\to \Lambda ^{p}(V^{*})$ definită prin $\theta (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{p})=f_{1}\wedge f_{2}\wedge \cdots \wedge f_{p}$ este p-liniară alternantă, adică:

$\theta (f_{\sigma (1)},f_{\sigma (2)},\cdots ,f_{\sigma (p)})=\varepsilon (\sigma )\theta (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{p}),$

pentru orice $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{p}\in V^{*}$ și $\sigma \in S_{p}$, iar aplicația $\theta ^{*}:\Lambda ^{p}(V^{*})^{*}\to \Lambda ^{p}({\dot {V}}),$ definită prin $\varphi '\mapsto \varphi \circ \theta ,\;\varphi \in \Lambda ^{p}(V^{*})^{*}$, este un izomorfism de spații vectoriale. Astfel spațiul vectorial $\Lambda ^{p}(V)$ cu canonic izomorf cu dualul spațiului vectorial $\Lambda ^{p}(V^{*}).$

Există construcții mai generale care permit definirea algebrei tensoriale $T(M)$ și a algebrei exterioare $\Lambda (M)$ pentru orice $A-$ modul $M,$ unde $A$ este un inel comutativ cu element unitate, în rest arbitrar.

Se pot construi puterea exterioară $\Lambda ^{p}(V)$ și algebra exterioară $\Lambda (V)$ pentru un spațiu vectorial complex finit dimensional $V$ după modelul prezentat anterior în cazul real.

Bibliografie

• Romulus Cristescu, Dicționar de analiză matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, 1989