Radical al unui ideal

Nu confundați cu radical al unui inel.

În teoria inelelor^⁠(d) radicalul unui ideal $I$ al unui inel comutativ este un alt ideal definit de proprietatea că un element $x$ aparține radicalului dacă și numai dacă o putere a lui $x$ este în $I$. Un ideal radical (sau ideal semiprim) este un ideal care este egal cu radicalul său. Radicalul unui ideal primar este un ideal prim.

Acest concept este generalizat pentru inele necomutative^⁠(d) în articolul inel semiprim.

Definiție

Radicalul unui ideal $I$ dintr-un inel comutativ $R$, notat cu $\operatorname {rad} (I)$ sau ${\sqrt {I}}$, este definit ca

${\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{ pentru unii }}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},$

(de notat că $I\subset {\sqrt {I}}$). Intuitiv, ${\sqrt {I}}$ este format din toate rădăcinile elementelor lui $I$ din inelul $R$. Echivalent, ${\sqrt {I}}$ este inversul imaginii idealului elementelor nilpotente (nilradicalul) ale inelului factor $R/I$ (prin aplicația naturală $\pi \colon R\to R/I$). Se poate demonstra că ${\sqrt {I}}$ este un ideal.

Dacă radicalul lui $I$ este finit generat, atunci o putere a lui ${\sqrt {I}}$ este conținută în $I$. În particular, dacă $I$ și $J$ sunt idealele unui inel noetherian^⁠(d), atunci $I$ și $J$ au același radical dacă și numai dacă $I$ conține o anumită putere a lui $J$ și $J$ conține o anumită putere a lui $I$.

Dacă un ideal $I$ coincide cu propriul său radical, atunci $I$ se numește ideal radical sau ideal semiprim.

Exemple

• Fie inelul $\mathbb {Z}$ al numerelor intregi.
  1. Radicalul idealului $4\mathbb {Z}$ al multiplilor întregi ai lui $4$ este $2\mathbb {Z}$.
  2. Radicalul lui $5\mathbb {Z}$ este $5\mathbb {Z}$.
  3. Radicalul lui $12\mathbb {Z}$ este $6\mathbb {Z}$.
  4. În general, radicalul lui $m\mathbb {Z}$ este $r\mathbb {Z}$, unde $r$ este produsul tuturor factorilor primi distincți din $m$, cel mai mare factor liber de pătrate al $m.$ De fapt, acest lucru se generalizează la un ideal arbitrar (v. mai jos).

• Fie idealul $I=\left(y^{4}\right)\subset \mathbb {C} [x,y]$. Este trivial de arătat că ${\sqrt {I}}=(y)$ (folosind proprietatea de bază ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$). Radicalul ${\sqrt {I}}$ corespunde cu nilradicalul ${\sqrt {0}}$ al inelului factor $R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)$, care este intersecția tuturor idealelor prime ale inelului factor. Acesta este conținut în radicalul Jacobson^⁠(d), care este intersecția tuturor idealelor maximale, care sunt nucleele^⁠(d) homomorfismelor^⁠(d) cu corpurile. Orice homomorfism de inele $R\to \mathbb {C}$ trebuie să aibă $y$ în nucleu pentru a avea un homomorfism bine definit (dacă, de exemplu, am spune că nucleul ar trebui să fie $(x,y-1)$ compunerea $\mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C}$ ar fi $\left(x,y^{4},y-1\right)$ care este același lucru cu încercarea de a forța $1=0$). Deoarece $\mathbb {C}$ este un corp algebric închis, orice homomorfism $R\to \mathbb {F}$ trebuie să factorizeze în $\mathbb {C}$, deci va trebui doar să se calculeze intersecția lui $\{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}$ pentru a calcula radicalul lui $(0).$ Rezultă că ${\sqrt {0}}=(y)\subset R.$

Proprietăți

În această secțiune se va continua convenția că I este idealul unui inel comutativ $R$.

• Este întotdeauna adevărat că

${\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}$,

adică obținerea radicalului este o operație idempotentă^⁠(d). Mai mult, ${\sqrt {I}}$ este cel mai mic ideal radical care îl conține pe $I$.

• ${\sqrt {I}}$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$ care îl conțin pe $I$

${\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{prim}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},$

și prin urmare radicalul unui ideal prim este egal cu el însuși. Afirmația poate fi întărită puțin: radicalul lui $I$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$ care sunt minimale între cele care-l conțin pe $I$.

• Utilizând ultimul punct, nilradicalul este egal cu intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$

${\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prim}}}{\mathfrak {p}}.$

Această proprietate este considerată echivalentă cu prima prin aplicația naturală $\pi \colon R\to R/I$ care dă o bijecție $u$:

$\left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,$ defined by $u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .$

• Un ideal $I$ dintr-un inel $R$ este radical dacă și numai dacă inelul factor $R/I$ este redus.

• Radicalul unui ideal omogen este omogen.

• Radicalul unei intersecții de ideale este egal cu intersecția radicalilor lor: ${\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}$.

• Radicalul unui ideal primar este prim. Dacă radicalul unui ideal $I$ este maximal, atunci $I$ este primar.

• Dacă $I$ este un ideal, ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$. Deoarece idealele prime sunt ideale radicale, ${\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}$ pentru orice ideal prim ${\mathfrak {p}}$.

• Fie $I,J$ idealele unui inel $R$. Dacă ${\sqrt {I}},{\sqrt {J}}$ sunt comaximale, atunci $I,J$ sunt comaximale.

• Fie $M$ un {{ill-wd| Q1340572||modul finit generat]] peste un inel noetherian^⁠(d) $R$. Atunci

${\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}$

unde $\operatorname {supp} M$ este suportul pentru $M,$ iar $\operatorname {ass} M$ este mulțimea de prime asociate lui $M$.

Aplicații

Motivația principală în studierea radicalilor este teorema zerourilor a lui Hilbert^⁠(d) în algebra comutativă. O versiune a acestei celebre teoreme afirmă că pentru orice ideal $J$ din inelul de polinoame^⁠(d) $\mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ peste un corp algebric închis $\mathbb {k}$, există

$\operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}$

unde

$\operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}$

și

$\operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.$

Geometric, aceasta spune că dacă o varietate^⁠(d) $V$ este tăiată de ecuația polinomială $f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0$, atunci singurele alte polinoame care se anulează în $V$ sunt cele din radicalul idealului $(f_{1},\ldots ,f_{r})$.

Un alt mod de a spune: compunerea $\operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}$ este un operator de închidere^⁠(d) pe mulțimea idealelor unui inel.

Bibliografie

• en Atiyah, Michael Francis; Macdonald, Ian G. (1994). Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5. 
• en Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960. 
• en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 

Vezi și

• Radical Jacobson
• Nilradical al unui inel