Nu confundați cu radical al unui inel.

În teoria inelelor⁠(d) radicalul unui ideal[1] al unui inel comutativ este un alt ideal definit de proprietatea că un element aparține radicalului dacă și numai dacă o putere a lui este în . Un ideal radical (sau ideal semiprim) este un ideal care este egal cu radicalul său. Radicalul unui ideal primar este un ideal prim.

Acest concept este generalizat pentru inele necomutative⁠(d) în articolul inel semiprim.

Definiție

modificare

Radicalul unui ideal   dintr-un inel comutativ  , notat cu   sau  , este definit ca

 

(de notat că  ). Intuitiv,   este format din toate rădăcinile elementelor lui   din inelul  . Echivalent,   este inversul imaginii idealului elementelor nilpotente (nilradicalul) ale inelului factor   (prin aplicația naturală  ). Se poate demonstra că   este un ideal.

Dacă radicalul lui   este finit generat, atunci o putere a lui   este conținută în  .[2] În particular, dacă   și   sunt idealele unui inel noetherian⁠(d), atunci   și   au același radical dacă și numai dacă   conține o anumită putere a lui   și   conține o anumită putere a lui  .

Dacă un ideal   coincide cu propriul său radical, atunci   se numește ideal radical sau ideal semiprim.

  • Fie inelul   al numerelor intregi.
    1. Radicalul idealului   al multiplilor întregi ai lui   este  .
    2. Radicalul lui   este  .
    3. Radicalul lui   este  .
    4. În general, radicalul lui   este  , unde   este produsul tuturor factorilor primi distincți din  , cel mai mare factor liber de pătrate al   De fapt, acest lucru se generalizează la un ideal arbitrar (v. mai jos).
  • Fie idealul  . Este trivial de arătat că   (folosind proprietatea de bază  ). Radicalul   corespunde cu nilradicalul   al inelului factor  , care este intersecția tuturor idealelor prime ale inelului factor. Acesta este conținut în radicalul Jacobson⁠(d), care este intersecția tuturor idealelor maximale, care sunt nucleele⁠(d) homomorfismelor⁠(d) cu corpurile. Orice homomorfism de inele   trebuie să aibă   în nucleu pentru a avea un homomorfism bine definit (dacă, de exemplu, am spune că nucleul ar trebui să fie   compunerea   ar fi   care este același lucru cu încercarea de a forța  ). Deoarece   este un corp algebric închis, orice homomorfism   trebuie să factorizeze în  , deci va trebui doar să se calculeze intersecția lui   pentru a calcula radicalul lui   Rezultă că  

Proprietăți

modificare

În această secțiune se va continua convenția că I este idealul unui inel comutativ  .

  • Este întotdeauna adevărat că
 ,
adică obținerea radicalului este o operație idempotentă⁠(d). Mai mult,   este cel mai mic ideal radical care îl conține pe  .
  •   este intersecția tuturor idealelor prime ale lui   care îl conțin pe  
 
și prin urmare radicalul unui ideal prim este egal cu el însuși. Afirmația poate fi întărită puțin: radicalul lui   este intersecția tuturor idealelor prime ale lui   care sunt minimale între cele care-l conțin pe  .
  • Utilizând ultimul punct, nilradicalul este egal cu intersecția tuturor idealelor prime ale lui  
 
Această proprietate este considerată echivalentă cu prima prin aplicația naturală   care dă o bijecție  :[3]
  defined by  
  • Un ideal   dintr-un inel   este radical dacă și numai dacă inelul factor   este redus.
  • Radicalul unui ideal omogen este omogen.
  • Radicalul unei intersecții de ideale este egal cu intersecția radicalilor lor:  .
  • Radicalul unui ideal primar este prim. Dacă radicalul unui ideal   este maximal, atunci   este primar.[4]
  • Dacă   este un ideal,  . Deoarece idealele prime sunt ideale radicale,   pentru orice ideal prim  .
  • Fie   idealele unui inel  . Dacă   sunt comaximale, atunci   sunt comaximale.
  • Fie   un {{ill-wd| Q1340572||modul finit generat]] peste un inel noetherian⁠(d)  . Atunci[5]
 
unde   este suportul pentru   iar   este mulțimea de prime asociate lui  .

Aplicații

modificare

Motivația principală în studierea radicalilor este teorema zerourilor a lui Hilbert⁠(d) în algebra comutativă. O versiune a acestei celebre teoreme afirmă că pentru orice ideal   din inelul de polinoame⁠(d)   peste un corp algebric închis  , există

 

unde

 

și

 

Geometric, aceasta spune că dacă o varietate⁠(d)   este tăiată de ecuația polinomială  , atunci singurele alte polinoame care se anulează în   sunt cele din radicalul idealului  .

Un alt mod de a spune: compunerea   este un operator de închidere⁠(d) pe mulțimea idealelor unui inel.

  1. ^ Răzvan-Dinu Lițcanu, Mulțimi algebrice afine (curs, p. 7), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2024-04-14)
  2. ^ Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 7.14
  3. ^ en Aluffi, Paolo (). Algebra: Chapter 0. AMS. p. 142. ISBN 978-0-8218-4781-7. 
  4. ^ Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 4.2
  5. ^ Lang, 2002, Ch. X, Proposition 2.10

Bibliografie

modificare

Vezi și

modificare