Radical al unui ideal

Nu confundați cu radical al unui inel.

În teoria inelelor^⁠(d) radicalul unui ideal^[1] $I$ al unui inel comutativ este un alt ideal definit de proprietatea că un element $x$ aparține radicalului dacă și numai dacă o putere a lui $x$ este în $I$ . Un ideal radical (sau ideal semiprim) este un ideal care este egal cu radicalul său. Radicalul unui ideal primar este un ideal prim.

Acest concept este generalizat pentru inele necomutative^⁠(d) în articolul inel semiprim.

Definiție

Radicalul unui ideal $I$ dintr-un inel comutativ $R$ , notat cu $\operatorname {rad} (I)$ sau ${\sqrt {I}}$ , este definit ca

{\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{ pentru unii }}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},

(de notat că $I\subset {\sqrt {I}}$ ). Intuitiv, ${\sqrt {I}}$ este format din toate rădăcinile elementelor lui $I$ din inelul $R$ . Echivalent, ${\sqrt {I}}$ este inversul imaginii idealului elementelor nilpotente (nilradicalul) ale inelului factor $R/I$ (prin aplicația naturală $\pi \colon R\to R/I$ ). Se poate demonstra că ${\sqrt {I}}$ este un ideal.

Dacă radicalul lui $I$ este finit generat, atunci o putere a lui ${\sqrt {I}}$ este conținută în $I$ .^[2] În particular, dacă $I$ și $J$ sunt idealele unui inel noetherian^⁠(d), atunci $I$ și $J$ au același radical dacă și numai dacă $I$ conține o anumită putere a lui $J$ și $J$ conține o anumită putere a lui $I$ .

Dacă un ideal $I$ coincide cu propriul său radical, atunci $I$ se numește ideal radical sau ideal semiprim.

Exemple

Fie inelul $\mathbb {Z}$ al numerelor intregi.
1. Radicalul idealului $4\mathbb {Z}$ al multiplilor întregi ai lui $4$ este $2\mathbb {Z}$ .
2. Radicalul lui $5\mathbb {Z}$ este $5\mathbb {Z}$ .
3. Radicalul lui $12\mathbb {Z}$ este $6\mathbb {Z}$ .
4. În general, radicalul lui $m\mathbb {Z}$ este $r\mathbb {Z}$ , unde $r$ este produsul tuturor factorilor primi distincți din $m$ , cel mai mare factor liber de pătrate al $m.$ De fapt, acest lucru se generalizează la un ideal arbitrar (v. mai jos).

Fie idealul $I=\left(y^{4}\right)\subset \mathbb {C} [x,y]$ . Este trivial de arătat că ${\sqrt {I}}=(y)$ (folosind proprietatea de bază ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$ ). Radicalul ${\sqrt {I}}$ corespunde cu nilradicalul ${\sqrt {0}}$ al inelului factor $R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)$ , care este intersecția tuturor idealelor prime ale inelului factor. Acesta este conținut în radicalul Jacobson^⁠(d), care este intersecția tuturor idealelor maximale, care sunt nucleele^⁠(d) homomorfismelor^⁠(d) cu corpurile. Orice homomorfism de inele $R\to \mathbb {C}$ trebuie să aibă $y$ în nucleu pentru a avea un homomorfism bine definit (dacă, de exemplu, am spune că nucleul ar trebui să fie $(x,y-1)$ compunerea $\mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C}$ ar fi $\left(x,y^{4},y-1\right)$ care este același lucru cu încercarea de a forța $1=0$ ). Deoarece $\mathbb {C}$ este un corp algebric închis, orice homomorfism $R\to \mathbb {F}$ trebuie să factorizeze în $\mathbb {C}$ , deci va trebui doar să se calculeze intersecția lui $\{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}$ pentru a calcula radicalul lui $(0).$ Rezultă că ${\sqrt {0}}=(y)\subset R.$

Proprietăți

În această secțiune se va continua convenția că I este idealul unui inel comutativ $R$ .

Este întotdeauna adevărat că

{\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}

,

adică obținerea radicalului este o operație idempotentă^⁠(d). Mai mult,

{\sqrt {I}}

este cel mai mic ideal radical care îl conține pe

I

.

${\sqrt {I}}$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$ care îl conțin pe $I$

{\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{prim}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},

și prin urmare radicalul unui ideal prim este egal cu el însuși. Afirmația poate fi întărită puțin: radicalul lui

I

este intersecția tuturor idealelor prime ale lui

R

care sunt minimale între cele care-l conțin pe

I

.

Utilizând ultimul punct, nilradicalul este egal cu intersecția tuturor idealelor prime ale lui $R$

{\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prim}}}{\mathfrak {p}}.

Această proprietate este considerată echivalentă cu prima prin aplicația naturală

\pi \colon R\to R/I

care dă o bijecție

u

:^[3]

\left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,

defined by

u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .

Un ideal $I$ dintr-un inel $R$ este radical dacă și numai dacă inelul factor $R/I$ este redus.

Radicalul unui ideal omogen este omogen.

Radicalul unei intersecții de ideale este egal cu intersecția radicalilor lor: ${\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}$ .

Radicalul unui ideal primar este prim. Dacă radicalul unui ideal $I$ este maximal, atunci $I$ este primar.^[4]

Dacă $I$ este un ideal, ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$ . Deoarece idealele prime sunt ideale radicale, ${\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}$ pentru orice ideal prim ${\mathfrak {p}}$ .

Fie $I,J$ idealele unui inel $R$ . Dacă ${\sqrt {I}},{\sqrt {J}}$ sunt comaximale, atunci $I,J$ sunt comaximale.

Fie $M$ un {{ill-wd| Q1340572||modul finit generat]] peste un inel noetherian^⁠(d) $R$ . Atunci^[5]

{\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}

unde

\operatorname {supp} M

este suportul pentru

M,

iar

\operatorname {ass} M

este mulțimea de prime asociate lui

M

.

Aplicații

Motivația principală în studierea radicalilor este teorema zerourilor a lui Hilbert^⁠(d) în algebra comutativă. O versiune a acestei celebre teoreme afirmă că pentru orice ideal $J$ din inelul de polinoame^⁠(d) $\mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ peste un corp algebric închis $\mathbb {k}$ , există

\operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}

unde

\operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}

și

\operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.

Geometric, aceasta spune că dacă o varietate^⁠(d) $V$ este tăiată de ecuația polinomială $f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0$ , atunci singurele alte polinoame care se anulează în $V$ sunt cele din radicalul idealului $(f_{1},\ldots ,f_{r})$ .

Un alt mod de a spune: compunerea $\operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}$ este un operator de închidere^⁠(d) pe mulțimea idealelor unui inel.

Note

^ Răzvan-Dinu Lițcanu, Mulțimi algebrice afine (curs, p. 7), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2024-04-14)
^ Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 7.14
^ en Aluffi, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. AMS. p. 142. ISBN 978-0-8218-4781-7.
^ Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 4.2
^ Lang, 2002, Ch. X, Proposition 2.10

Bibliografie

en Atiyah, Michael Francis; Macdonald, Ian G. (1994). Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
en Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960.
en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

Vezi și

Portal Matematică

[1] Răzvan-Dinu Lițcanu, Mulțimi algebrice afine (curs, p. 7), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2024-04-14)

[2] Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 7.14

[3] Aluffi, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. AMS. p. 142. ISBN 978-0-8218-4781-7.

[4] Atiyah, Macdonald, 1994, Proposition 4.2

[5] Lang, 2002, Ch. X, Proposition 2.10

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]