Singularitate esențială

singularitate în vecinătatea căreia funcția are o comportare extremă

În analiza complexă o singularitate esențială a unei funcții este o singularitate „severă” lângă care funcția se comportă ciudat.

Graficul funcției exp(1/z), centrat pe singularitatea esențială din z = 0. Culorile reprezintă argumentul complex⁠(d) iar luminozitatea reprezintă valoarea absolută. Acest grafic arată cum abordarea singularității esențiale din diferite direcții produce comportamente diferite (spre deosebire de un pol, care ar fi alb abordat din orice direcție).
Model care ilustrează singularitatea esențială a funcției complexe 6w = exp(1/(6z))

Categoria singularitate esențială este un „rest” sau un grup implicit de singularități izolate care sunt expres de negestionat: prin definiție, nu se încadrează în niciuna dintre celelalte două categorii de singularitate care pot fi tratate în vreun fel — singularități eliminabile și poli. În practică, unii includ între acestea și anumite singularități neizolate: acelea nu au un reziduu⁠(d).

Descriere formală

modificare

Fie o mulțime deschisă   din planul complex  . Fie   un element al   și   o funcție olomorfă. Punctul   se numește singularitate esențială a funcției   dacă singularitatea nu este nici un pol, nici o singularitate eliminabilă.

De exemplu, funcția   are o singularitate esențială în  .

Descriere alternativă

modificare

Fie   un număr complex și se presupune că   nu este definită în  , dar este analitică într-o regiune   a planului complex și că fiecare vecinătate deschisă a lui   are intersecția cu   nevidă.

Dacă atât   cât și   există, atunci   este o singularitate eliminabilă atât a  , cât și a  .
Dacă   există dar   nu există (în realitate  ), atunci   este un zero al   și un pol al  .
Similar, dacă   nu există (în realitate  ) dar   există, atunci   este un pol al   și un zero al  .
Dacă nici  , nici   nu există, atunci   este o singularitate esențială a ambelor   și  .

O altă modalitate de a caracteriza o singularitate esențială este aceea că seria Laurent⁠(d) a lui   la punctul   are o infinitate de termeni de grad negativ (adică, partea principală din seria Laurent este o sumă infinită). O definiție înrudită este aceea că, dacă există un punct   pentru care nicio derivată a lui   nu converge către o limită când   tinde spre  , atunci   este o singularitate esențială a lui  .[1]

Pe sfera Riemann (care are un punct de la infinit),  , funcția   are o singularitate esențială în acel punct dacă și numai dacă   are o singularitate esențială în 0: adică nu există nici  , nici  .[2] Funcția zeta Riemann pe sfera Riemann are o singură singularitate esențială, la  .[3]

Comportarea funcțiilor olomorfe în apropierea singularităților lor esențiale este descrisă de teorema Casorati–Weierstrass și de marea teoremă a lui Picard⁠(d), considerabil mai puternică. Acesta din urmă spune că în orice vecinătate a unei singularități esențiale,  , funcția   ia orice valoare complexă, cu excepția posibilei uneia, de un număr infinit de ori. (Excepția este necesară; de exemplu, funcția   nu are niciodată valoarea 0.)

  1. ^ en Weisstein, Eric W. „Essential Singularity”. MathWorld. Wolfram. Accesat în . 
  2. ^ en „Infinity as an Isolated Singularity” (PDF). Accesat în . 
  3. ^ en Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (). „Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines”. Computational Methods and Function Theory (în engleză). 20 (3): 389–401. doi:10.1007/s40315-020-00316-x . ISSN 2195-3724. 

Bibliografie

modificare
  • en Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
  • en Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN: 1-84265-185-4

Legături externe

modificare