Singularitate izolată

singularitate care nu are alte singularități în vecinătate

În analiza complexă o singularitate izolată[1][2] este una care nu are altă singularități apropiate. Cu alte cuvinte, un număr complex z0 este o singularitate izolată a unei funcții f dacă există un disc deschis D cu centrul în z0 astfel încât f este olomorfă pe D \ {z0}, adică pe mulțimea obținută din D fără z0.

Formal, din punct de vedere al topologiei generale⁠(d), o singularitate izolată a unei funcții olomorfe este orice punct izolat al frontierei a domeniului . Cu alte cuvinte, dacă este o submulțime deschisă a , și este o funcție olomorfă, atunci este o singularitate izolată a lui .

Orice singularitate a unei funcții meromorfe pe o submulțime deschisă este izolată, dar izolarea singularităților nu este suficientă pentru a garanta că o funcție este meromorfă. Multe instrumente importante de analiză complexă, cum ar fi seriile Laurent⁠(d) și teorema reziduurilor⁠(d) necesită ca toate singularitățile relevante ale funcției să fie singularități izolate. Există trei tipuri de singularități izolate: singularități eliminabile, poli și singularități esențiale.

  • Funcția   are 0 ca singularitate izolată.
  • Funcția cosecantă   are orice întreg ca singularitate izolată.

Singularități neizolate

modificare

În afară de singularitățile izolate, funcțiile complexe de o variabilă pot prezenta un alt comportament singular. Și anume, există două tipuri de singularități neizolate:

  • Puncte de acumulare ale singularităților izolate: dacă toate sunt poli, deși toate admit dezvoltări în serie Laurent, o astfel de dezvoltare nu este posibilă la limita sa.
  • Frontiere naturale, adică orice mulțime neizolată (de exemplu o curbă) în jurul căreia funcțiile nu pot fi continue analitic (sau în afara lor dacă sunt curbe închise din sfera Riemann).
  • Funcția   este meromorfă pe  , cu poli simpli în  , pentru orice  . Deoarece  , orice disc perforat cu centrul în   are un număr infinit de singularități, deci nu este disponibilă nicio dezoltare Laurent pentru   în jurul lui  , care este de fapt un punct de acumulare al polilor săi.
  • Funcția   are o singularitate în 0 care este nu este una izolată, deoarece există singularități la inversele oricărui întreg, care sunt situate arbitrar de aproape de 0 (deși singularitățile acestor inverse sunt ele însele izolate).
  • Funcția definită prin seria Maclaurin   converge în interiorul discului unitate deschis centrat în   și are cercul unitate ca frontieră naturală.
  1. ^ Eugenia Paulescu, Ecuațiile diferențiale ale fizicii matematice Arhivat în , la Wayback Machine. (curs), Universitatea de Vest din Timișoara, accesat 2023-05-15
  2. ^ Gabriela Apreutesei, Curs de analiză complexă (curs, 2010, p. 39), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-15

Bibliografie

modificare
  • en Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
  • en Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).

Legături externe

modificare