Singularitate izolată

În analiza complexă o singularitate izolată^[1]^[2] este una care nu are altă singularități apropiate. Cu alte cuvinte, un număr complex $z$ ₀ este o singularitate izolată a unei funcții $f$ dacă există un disc deschis $D$ cu centrul în $z$ ₀ astfel încât $f$ este olomorfă pe $D$ \ { $z$ ₀}, adică pe mulțimea obținută din $D$ fără $z$ ₀.

Formal, din punct de vedere al topologiei generale^⁠(d), o singularitate izolată a unei funcții olomorfe $f:\Omega \to \mathbb {C}$ este orice punct izolat al frontierei $\partial \Omega$ a domeniului $\Omega$ . Cu alte cuvinte, dacă $U$ este o submulțime deschisă a $\mathbb {C}$ , $a\in U$ și $f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ este o funcție olomorfă, atunci $a$ este o singularitate izolată a lui $f$ .

Orice singularitate a unei funcții meromorfe pe o submulțime deschisă $U\subset \mathbb {C}$ este izolată, dar izolarea singularităților nu este suficientă pentru a garanta că o funcție este meromorfă. Multe instrumente importante de analiză complexă, cum ar fi seriile Laurent^⁠(d) și teorema reziduurilor^⁠(d) necesită ca toate singularitățile relevante ale funcției să fie singularități izolate. Există trei tipuri de singularități izolate: singularități eliminabile, poli și singularități esențiale.

Exemple

Funcția ${\frac {1}{z}}$ are 0 ca singularitate izolată.
Funcția cosecantă $\csc \left(\pi z\right)$ are orice întreg ca singularitate izolată.

Singularități neizolate

În afară de singularitățile izolate, funcțiile complexe de o variabilă pot prezenta un alt comportament singular. Și anume, există două tipuri de singularități neizolate:

Puncte de acumulare ale singularităților izolate: dacă toate sunt poli, deși toate admit dezvoltări în serie Laurent, o astfel de dezvoltare nu este posibilă la limita sa.
Frontiere naturale, adică orice mulțime neizolată (de exemplu o curbă) în jurul căreia funcțiile nu pot fi continue analitic (sau în afara lor dacă sunt curbe închise din sfera Riemann).

Exemple

Funcția ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ este meromorfă pe $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , cu poli simpli în ${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$ , pentru orice $n\in \mathbb {N} _{0}$ . Deoarece $z_{n}\rightarrow 0$ , orice disc perforat cu centrul în $0$ are un număr infinit de singularități, deci nu este disponibilă nicio dezoltare Laurent pentru ${\textstyle \ tan\left({\frac {1}{z}}\right)}$ în jurul lui $0$ , care este de fapt un punct de acumulare al polilor săi.
Funcția ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ are o singularitate în 0 care este nu este una izolată, deoarece există singularități la inversele oricărui întreg, care sunt situate arbitrar de aproape de 0 (deși singularitățile acestor inverse sunt ele însele izolate).
Funcția definită prin seria Maclaurin ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ converge în interiorul discului unitate deschis centrat în $0$ și are cercul unitate ca frontieră naturală.