Corp (matematică)

(Redirecționat de la Teoria corpurilor)
Acest articol se referă la o structură algebrică. Pentru alte sensuri, vedeți Corp (dezambiguizare).

În algebră, un corp se referă la o mulțime pe care sunt definite niște operații binare numite adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare pe numerele reale (cu posibila excepție a comutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).

Conceptul de corp a fost dezvoltat în secolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluția ecuaților polinomiale (cu ce a devenit teoria lui Galois), teoria algebrică a numerelor, și geometria algebrică.[1] A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.

Definiție

modificare

Se numește corp un triplet   în care   este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar   și   sunt două operații pe   (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:

  1.   este grup abelian cu elementul neutru notat cu  .
  2.   este grup cu elementul neutru notat cu  .
  3. „Înmulțirea” este distributivă față de „adunare”, adică pentru orice  :
 
 

Dacă, în plus, „înmulțirea” este comutativă, atunci tripletul   se numește corp comutativ.

Grupul   se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul   se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Mulțimea   (respectiv  ) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale (respectiv corpul numerelor reale).

Inelul   al claselor de resturi modulo p este corp comutativ dacă și numai dacă p este un număr prim. Reciproc, orice corp finit al cărui cardinal p este prim este izomorf cu  .

Definiție

modificare

O submulțime   a unui corp   se numește subcorp al lui  , dacă operațiile algebrice definite pe   induc pe   operații algebrice, împreună cu care   este corp.

Dacă   este subcorp al lui  , atunci   se numește extindere a lui   și se notează   sau  .

Caracterizare

modificare

O submulțime nevidă   a unui corp   este un subcorp a lui   dacă și numai dacă:

  1.  
  2.  
  3.  

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția:  .

Exemple de subcorpuri

modificare
  1. Fie   un corp. Atunci   este un subcorp al lui  .
  2.   este un subcorp al lui  .
  3. Fie  , înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Avem   și  .

Bibliografie

modificare
  • Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
  • Kleiner, Israel (), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare