Domeniu stea

În matematică o mulțime $S$ din spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ este numită domeniu stea (sau domeniu în formă de stea) dacă există cel puțin un punct $s_{0}\in S$ astfel încât pentru orice punct $s\in S,$ tot segmentul dintre $s_{0}$ și $s$ este cuprins în $S.$ Această definiție poate fi generalizată imediat la orice spațiu vectorial real sau complex.

O coroană circulară nu este un domeniu stea

Intuitiv, dacă se imaginează $S$ ca fiind o regiune înconjurată de un zid, $S$ este un domeniu stea dacă se poate găsi un punct de observare $s_{0}$ în $S$ din care orice punct $s$ din $S$ se află în raza vizuală. Un concept similar, dar distinct, este cel de mulțime radială.

Exemple

Orice dreaptă sau plan din $\mathbb {R} ^{n}$ este un domeniu stea.
Dacă $A$ este o mulțime din $\mathbb {R} ^{n},$ mulțimea $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ obținută prin conectarea tuturor punctelor din $A$ la origine este un domeniu stea.
Orice mulțime convexă^⁠(d) vidă este un domeniu stea. O mulțime este convexă dacă și numai dacă este un domeniu stea față de orice punct din acea mulțime.
Un patrulater care se autointersectează este un domeniu stea, dar nu este convex.
Un poligon în formă de stea este un domeniu stea a cărei frontieră este o succesiune de segmente conectate.

Proprietăți

închiderea a unui domeniu stea este un domeniu stea, dar interiorul unui domeniu stea nu este neapărat un domeniu stea.
Orice domeniu stea este contractibil, printr-o omotopie în linie dreaptă. În special, orice domeniu stea este o mulțime simplu conexă.
Orice domeniu stea, și doar un domeniu stea, poate fi „micșorat în sine”; adică pentru fiecare raport de dilatare $r<1,$ domeniul stea poate fi dilatat cu acest raport $r$ astfel încât domeniul stea dilatat să fie conținut în domeniul stea original.^[1]
Reuniunea sau intersecția a două domenii stea nu este obligatoriu să fie un domeniu stea.
Un domeniu stea deschis nevid $S$ în $\mathbb {R} ^{n}$ este difeomorf cu $\mathbb {R} ^{n}.$

Note

^ en Drummond-Cole, Gabriel C. „What polygons can be shrinked into themselves?”. Math Overflow. Accesat în 2 octombrie 2014.

Bibliografie

en Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, ISBN: 0-521-28763-4, marathi 0698076
en C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). p. 386, marathi 0227724, JSTOR 2313423

Vezi și

Poligon stelat

Legături externe

Portal Matematică

Materiale media legate de domeniu stea la Wikimedia Commons
en Humphreys, Alexis, Star convex la MathWorld.

[1] Drummond-Cole, Gabriel C. „What polygons can be shrinked into themselves?”. Math Overflow. Accesat în 2 octombrie 2014.

[1]