Hiperbolă unitate

în geometrie hiperbola unitate este mulțimea punctelor (x,y) din planul cartezian care satisfac ecuația implicită^⁠(d) $x^{2}-y^{2}=1.$ În studiul grupurilor ortogonale nedefinite^⁠(d) hiperbola unitate constituie baza pentru o lungime radială alternativă

Hiperbola unitate este cu albastru, conjugata sa este cu verde, iar asimptotele sunt cu roșu

$r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.$

În timp ce cercul unitate își înconjoară centrul, hiperbola unitate necesită hiperbola conjugată $y^{2}-x^{2}=1$ pentru a o completa în plan. Această pereche de hiperbole au în comun asimptotele y = x și y = −x. Împreună cu conjugata hiperbolei unitate, lungimea radială alternativă este $r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.$

Hiperbola unitate este un caz particular al hiperbolei echilaterale, cu o anumită orientare, poziționare și scară. Ca atare, excentricitatea sa este ${\sqrt {2}}.$

Hiperbola unitate are aplicații în geometria analitică, în cazuri în care cercul trebuie înlocuit cu hiperbola. Un exemplu important este reprezentarea spațiu-timpului ca un spațiu pseudoeuclidian^⁠(d). Acolo asimptotele hiperbolei unitate formează un con de lumină^⁠(d). Mai mult, atenția lui Gregoire de Saint-Vincent asupra zonelor din sectorul hiperbolic a dus la funcția logaritmului și la parametrizarea modernă a hiperbolei prin sectoare. Când au fost înțelese noțiunile de hiperbolă conjugată și unghi hiperbolic^⁠(d) clasicele numere complexe, care sunt construite pe baza cercului unitate, pot fi înlocuite cu numere construite pe baza hiperbolei unitate (numerele complexe hiperbolice^⁠(d)).

Asimptote

Articol principal: Asimptotă.

În general, se spune că asimptotele unei curbe converg spre curbă. În geometria algebrică și teoria curbelor algebrice^⁠(d) există o abordare diferită a asimptotelor. Curba este mai întâi interpretată în planul proiectiv^⁠(d) folosind coordonate omogene. Apoi asimptotele sunt drepte care sunt tangente curbei proiective în punctul de la infinit, eludând astfel orice nevoie de un concept de distanță și convergență. Într-un cadru comun ( x, y, z ) sunt coordonate omogene cu dreapta de la infinit determinate de ecuația z = 0. De exemplu, C. G. Gibson a scris:

Pentru hiperbola echilaterală standard $f=x^{2}-y^{2}-1$ din ℝ², curba proiectivă corespondentă este $F=x^{2}-y^{2}-z^{2},$ care intersectează z = 0 în punctele P = (1 : 1 : 0) și Q = (1 : −1 : 0). Ambele puncte P și Q sunt intersecții simple cu F, cu tangentele x + y = 0, x − y = 0; obținându-se astfel „asimptotele” familiare din geometria elementară.

Parametrizare

Ramurile hiperbolei unitate sunt punctele $(\cosh a,\sinh a)$ și $(-\cosh a,-\sinh a)$ în funcție de parametrul $a$ al unghiului hiperbolic

O modalitate directă de parametrizare a hiperbolei unitate începe cu hiperbola xy = 1 parametrizată cu funcția exponențială: $(e^{t},\ e^{-t}).$

Această hiperbolă este transformată în hiperbolă unitate printr-o transformare liniară având matricea $A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :$

$(e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).$

Parametrul t este unghiul hiperbolic, care este argumentul funcțiilor hiperbolice.

Ca o anumită conică, hiperbola poate fi parametrizată prin procesul de adăugare a punctelor pe o conică. Următoarea descriere a fost dată de analiștii ruși:

Se pune un punct E pe conică. Se consideră punctele în care dreapta trasată prin E paralel cu AB intersectează conica a doua oară ca fiind suma punctelor A și B.

Pentru hiperbola $x^{2}-y^{2}=1$ cu punctul E = (1,0) suma punctelor $(x_{1},\ y_{1})$ și $(x_{2},\ y_{2})$ este punctul $(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})$ cu parametrizarea $x=\cosh \ t$ și $y=\sinh \ t$, această adăugare corespunde adăugării parametrului t.

Bibliografie

• en F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN: 0-12-329650-1 .