Ideal fracționar

generalizare a idealelor din teoria inelelor la domenii de integritate

În matematică, în special în algebra comutativă, noțiunea de ideal fracționar este introdusă în contextul domeniilor de integritate și este deosebit de fructuoasă în studiul domeniilor Dedekind⁠(d). Într-un anumit sens, idealele fracționare ale unui domeniu de integritate sunt la fel cu idealele în care sunt permiși numitorii. În contextele în care se discută atât despre idealele fracționare cât și despre idealele obișnuite, pentru claritate acestea din urmă sunt uneori numite ideale întregi[1].

Definiție și noțiuni de bază

modificare

Fie   un domeniu de integritate, iar   corpul său de fracții.

Un ideal fracționar al   este un  -submodul⁠(d)   al   astfel încât să existe un   nenul, astfel încât  . Elementul   poate fi considerat ca înlocuind numitorii din  , de unde și denumirea de ideal fracționar.

Idealele fracționare principale sunt acele  -submodule ale   generate de un singur element nenul din  . Un ideal fracționar   este conținut în   dacă și numai dacă este un ideal (întreg) al lui  .

Un ideal fracționar   se numește inversabil dacă există un alt ideal fracționar   astfel încât

 

unde

 

este produsul celor două ideale fracționare.

Mulțimea idealelor fracționale inversabile formează un grup abelian în raport cu produsul de mai sus, unde unitatea este idealul unitate   însuși. Acest grup este numit grupul idealelor fracționare al lui  . Idealele fracționare principalele formează un subgrup. Un ideal fracționar (nenul) este inversabil dacă și numai dacă este proiectiv⁠(d) ca  -modul⁠(d). Din punct de vedere geometric, asta înseamnă că un ideal fracționar inversabil poate fi interpretat ca fibrat vectorial⁠(d) de rangul 1 peste schema afină⁠(d)  .

Orice  -submodul finit generat⁠(d) din K este un ideal fracționar și dacă   este noetherian⁠(d) acestea sunt toate idealele fracționale ale lui  .

Domenii Dedekind

modificare

În domeniile Dedekind⁠(d), situația este mult mai simplă. În special datorită faptului că orice ideal fracționar nenul este inversabil. De fapt, această proprietate caracterizează domeniile Dedekind:

Un domeniu de integritate este un domeniu Dedekind dacă și numai dacă orice ideal fracționar nenul este inversabil.

Mulțimea idealelor fracționare peste un domeniu Dedekind   se notează  .

Grupul său factor de ideale fracționare în funcție de subgrupul de ideale fracționare principale este un invariant important al unui domeniu Dedekind, numit grupul clasei de ideale⁠(d).

Corpuri de numere

modificare

Pentru cazul particular al corpului de numere⁠(d)   (cum ar fi  ) există un inel asociat notat   numit inelul întregilor lui  . De exemplu,   pentru   liber de pătrate și congruent⁠(d) cu  . Proprietatea cheie a acestor inele   este că sunt domenii Dedekind. Prin urmare, teoria idealelor fracționare poate fi descrisă pentru inelele de numere întregi ale corpurilor de numere. De fapt, teoria corpurilor de clase⁠(d) este studiul unor astfel de grupuri ale claselor de inele.

Structuri asociate

modificare

Pentru inelul de întregi[2]   al unui corp de numere, grupul de ideale fracționare formează un grup notat  , iar subgrupul de ideale fracționare principale este notat  . Grupul clasei de ideale este grupul de ideale fracționare modulo idealele fracționare principale, deci

 

iar numărul claselor sale,  , este ordinul grupului,  . Într-un fel, numărul de clase este o măsură pentru cât de „departe” este inelul întregilor   de a fi un inel factorial. Acest lucru se datorează faptului că   dacă și numai dacă   este un inel factorial.

  •   este un ideal fracționar peste  
  • Pentru   idealul   se factorizează în   drept  
  • În   există factorizarea  . Acest lucru se datorează faptului că dacă se înmulțește, se obține
 
Deoarece   satisface relația  , factorizarea are sens.
  • În   se pot înmulți idealele fracționare
  și  
pentru aobține idealul
 
  1. ^ Costel-Gabriel Bontea, Corpuri cu divizori primi, Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, 11 septembrie 2012, accesat 2023-11-07
  2. ^ en Childress, Nancy (). Class field theory. New York: Springer. p. 2. ISBN 978-0-387-72490-4. OCLC 310352143. 

Bibliografie

modificare