Matrice adjunctă

În matematică matricea adjunctă, cunoscută și sub numele de transpusa conjugată sau transpusa hermitiană, a unei matrice complexe ${\boldsymbol {A}}\,m\times n$ este o matrice de $n\times m$ obținută prin transpunerea lui ${\boldsymbol {A}}$ și conjugarea complexă a fiecărui element (conjugatul complex al lui $a+ib$ fiind $a-ib$, pentru numere reale $a$ și $b$). Este adesea notată prin ${\boldsymbol {A}}^{*}$, ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ sau ${\boldsymbol {A}}'$ și foarte obișnuit în fizică prin ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }$.

Pentru o matrice reală, adjuncta este chiar transpusa sa, ${\boldsymbol {A}}^{*}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$.

Definiție

Adjuncta unei matrice ${\boldsymbol {A}}\,m\times n$ este definită formal prin

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}$

unde indicii $ij$ indică al $(i,j)$-lea element, pentru $1\leq i\leq n$ și $1\leq j\leq m$, iar suprabararea indică conjugatul complex al unui scalar.

Această definiție poate fi scrisă și ca

${\boldsymbol {A}}^{*}=\left({\overline {\boldsymbol {A}}}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}$

unde ${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$ indică transpusa iar ${\overline {\boldsymbol {A}}}$ indică matricea cu elementele conjugate complex.

Adjuncta matricei ${\boldsymbol {A}}$ este notată prin simbolurile:

• ${\boldsymbol {A}}^{*}$, uzual în algebra liniară
• ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} },$ uzual în algebra liniară
• ${\boldsymbol {A}}^{\dagger },$ uzual în mecanica cuantică
• ${\boldsymbol {A}}^{+}$, uzual pentru pseudoinversa Moore–Penrose^⁠(d)

În unele cazuri prin ${\boldsymbol {A}}^{*}$ este notată matricea cu doar elementele conjugate complex, fără a fi transpusă.

Exemplu

Se dorește calculul adjunctei următoarei matrice ${\boldsymbol {A}}$.

${\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

Se face transpunerea:

${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

Apoi se conjugă complex fiecare element:

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

Observații

O matrice pătrată ${\boldsymbol {A}}$ cu elementele $a_{ij}$ se numește

• hermitiană sau autoadjunctă dacă ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$; adică $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• antihermitiană dacă ${\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$; adică $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$.
• normală dacă ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$.
• unitară dacă ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}$, echivalent ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}$, echivalent ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}$.

Chiar dacă ${\boldsymbol {A}}$ nu este pătrată, cele două matrici ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}$ și ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ sunt ambele hermitiene și pozitiv semidefinite.

Adjuncta lui ${\boldsymbol {A}}$ cu elemente reale se reduce la transpusa lui ${\boldsymbol {A}}$ deoarece conjugatul unui număr real este numărul însuși.

Motivare

Adjuncta poate fi motivată observând că numerele complexe pot fi reprezentate prin matrici reale $2\times 2$, respectând adunarea și înmulțirea matricilor:

$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

Adică, se asociază fiecărui număr complex $z$ matricea reală $2\times 2$ a transformării liniare din planul complex (văzut ca un spațiu vectorial real $\mathbb {R} ^{2}$), la care se aplică înmulțirea complexă a lui $z$ în $\mathbb {C}$.

Astfel, o matrice $m\times n$ de numere complexe ar putea fi bine reprezentată printr-o matrice $2m\times 2n$ de numere reale. Prin urmare, adjuncta apare foarte natural ca rezultat al transpusei unei astfel de matrice — atunci când este privită din nou ca o matrice $n\times m$ formată din numere complexe.

Proprietăți ale adjunctei

• $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ pentru două matrice oarecare ${\boldsymbol {A}}$ și ${\boldsymbol {B}}$ de aceleași dimensiuni.
• $(z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ pentru orice număr complex $z$ și orice matrice ${\boldsymbol {A}}\,m\times n$.
• $({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ pentru orice matrice ${\boldsymbol {A}}\,m\times n$ și orice matrice ${\boldsymbol {B}}\,n\times p$. De observat că ordinea factorilor este inversată.
• $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}$ pentru orice matrice ${\boldsymbol {A}}\,m\times n$, de exemplu adjuncta este o involuție.
• Dacă ${\boldsymbol {A}}$ este o matrice pătrată, atunci $\det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left({\boldsymbol {A}}\right)}}$ unde prin $\operatorname {det} (A)$ este notat determinantul lui ${\boldsymbol {A}}$.
• Dacă ${\boldsymbol {A}}$ este o matrice pătrată, atunci $\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}})}}$ unde prin $\operatorname {tr} (A)$ este notată urma lui ${\boldsymbol {A}}$.
• ${\boldsymbol {A}}$ este inversabilă dacă și numai dacă ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ este inversabilă, iar în acest caz $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$.
• valorile proprii ale ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ sunt conjugatele complexe ale valorilor proprii ale ${\boldsymbol {A}}$.
• $\left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ pentru orice matrice ${\boldsymbol {A}}\,m\times n$, orice vector $x\in \mathbb {C} ^{n}$ și orice vector $y\in \mathbb {C} ^{m}$. Aici, prin $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ este notat produsul intern complex standard pe $\mathbb {C} ^{m}$, și similar pentru $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$.

Legături externe

• en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Adjoint matrix”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104