Asociaedru

În matematică un asociaedru $K n$ este un politop convex $(n -2)$ -dimensional, în care fiecare vârf corespunde unei modalități de inserare corectă a parantezelor de deschidere și de închidere într-un șir de $n$ litere în care laturile corespund unei singure aplicări a regulii asociativității. Echivalent, vârfurile unui asociaedru corespund triangulărilor unui poligon regulat cu $n +1$ laturi, iar laturile corespund inversărilor de laturi în care o singură diagonală dintr-o triangulare este îndepărtată și înlocuită cu o diagonală diferită. Asociaedrele sunt numite și politopuri Stasheff, după Jim Stasheff, care le-a redescoperit la începutul anilor 1960,^[1] după lucrările mai vechi ale lui Dov Tamari.^[2]

K₅ ca o bipiramidă triunghiulară trunchiată de ordinul 4

Exemple

Asociaedrul unidimensional K₃ reprezintă cele două posibilități de încadrare între paranteze, ((xy)z) și (x(yz)), ale trei simboluri, sau cele două triangulări ale unui pătrat. Este în sine un segment de dreaptă.

Asociaedrul bidimensional K₄ reprezintă cele cinci posibilități de încadrare între paranteze a patru simboluri sau cele cinci triangulări ale unui pentagon regulat. Este el însuși un pentagon și are legătură cu diagrama pentagonului a unei categorii de monoizi.

Asociaedrul tridimensional K₅ este un eneaedru (poliedru cu nouă fețe, trei patrulatere disjuncte și șase pentagoane) și paisprezece vârfuri, iar dualul său este prisma triunghiulară triaugmentată.

Realizare

Inițial Jim Stasheff a considerat aceste obiecte drept politopuri curbilinii. Ulterior, li s-au dat coordonatele ca politopuri convexe în mai multe moduri diferite.^[3]

O metodă de realizare a asociaedrului este ca politop secundar al unui poligon regulat.^[3] În această construcție, fiecare triangulare a unui poligon regulat cu n+1 laturi corespunde unui punct în spațiul euclidian (n+1)-dimensional, a cărui coordonată i este aria totală a triunghiurilor incidente în al i-lea vârf al poligonului. De exemplu, cele două triangulări ale pătratului unitate dau naștere în acest fel la două puncte în spațiul cvadridimensional, cu coordonatele (1, 1/2, 1, 1/2) și (1/2, 1, 1/2, 1). Anvelopa convexă a acestor două puncte este realizarea asociaedrului K₃. Deși este într-un spațiu cvadridimensional, formează un segment de dreaptă (un politop unidimensional) în acel spațiu. Similar, asociaedrul K₄ poate fi realizat în acest fel ca un pentagon regulat în spațiu euclidian cu cinci dimensiuni, ale cărui coordonate ale vârfurilor sunt permutări circulare ale vectorului (1, 2 + φ, 1, 1 +φ, 1 + φ) unde φ reprezintă secțiunea de aur. Deoarece triunghiurile posibile dintr-un hexagon regulat au arii care sunt multipli întregi una față de cealaltă, această construcție poate fi folosită pentru a da coordonate întregi (în șase dimensiuni) asociaedrului tridimensional K₅; totuși (după cum arată deja exemplul lui K₄) această construcție în general duce la coordonate care se exprimă prin numere iraționale.

O altă realizare, făcută de Jean-Louis Loday, se bazează pe corespondența vârfurilor asociaedrului cu un arbore binar cu rădăcină cu n frunze și produce direct coordonate întregi în spațiul (n−2)-dimensional. Coordonata i a realizării lui Loday este a_ib_i, unde a_i este numărul de descendenți ai nodului ramurii din stânga al nodului intern i al arborelui (în ordinea de la stânga la dreapta), iar b_i este numărul de descendenți ai nodului din ramura din dreapta.^[4]

Este posibil să se realizeze asociaedrul direct în spațiul (n−2)-dimensional ca un politop pentru care toți vectorii normali pe fețe au coordonate care sunt 0, +1 sau −1. Există exponențial de multe moduri combinatorice distincte de a face acest lucru.^[3]^[5]

Numărul k-fețelor

Numărul de fețe (n−k)-dimensionale ale asociaedrului de ordinul n (K_n+1) este dat de triunghiul numeric^[6] (n,k), din tabelul următor.

k = 1 2 3 4 5 n 1 1 1 2 1 2 3 3 1 5 5 11 4 1 9 21 14 45 5 1 14 56 84 42 197

Numărul de vârfuri din K_n+1 este n-lea număr Catalan (diagonala principală în triunghi).

Numărul de fațete în K_n+1 (pentru n ≥ 2) este n-lea număr triunghiular minus unu (coloana a doua a triunghiului), deoarece fiecare fațetă corespunde unei submulțimi de 2 din n obiecte ale căror grupări formează laticea Tamari T_n, cu excepția submulțimii de 2 care conține primul și ultimul element.

Numărul de fețe de toate dimensiunile (inclusiv asociaedrul însuși ca față, dar fără a include mulțimea vidă) este un număr Schröder–Hiparh (sume ale rândurilor triunghiului).^[7]

Note

^ en Stasheff, James Dillon (1963), „Homotopy associativity of H-spaces. I, II”, Transactions of the American Mathematical Society, 108: 293–312, doi:10.2307/1993609 , MR 0158400. Revised from a 1961 Ph.D. thesis, Princeton University
^ fr Tamari, Dov (1951), Monoïdes préordonnés et chaînes de Malcev, Thèse, Université de Paris, MR 0051833
^ ^a ^b ^c en Ceballos, Cesar; Santos, Francisco; Ziegler, Günter M. (2015), „Many non-equivalent realizations of the associahedron”, Combinatorica, 35 (5): 513–551, arXiv:1109.5544  , doi:10.1007/s00493-014-2959-9 
^ en Loday, Jean-Louis (2004), „Realization of the Stasheff polytope”, Archiv der Mathematik, 83 (3): 267–278, arXiv:math/0212126  , doi:10.1007/s00013-004-1026-y  , MR 2108555
^ en Hohlweg, Christophe; Lange, Carsten E. M. C. (2007), „Realizations of the associahedron and cyclohedron”, Discrete & Computational Geometry, 37 (4): 517–543, arXiv:math.CO/0510614  , doi:10.1007/s00454-007-1319-6  , MR 2321739
^ Șirul A033282 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS) Triunghiul citit pe rânduri: T(n, k) este numărul de divizări diagonale ale unui n-gon convex în k+1 regiuni.
^ en Holtkamp, Ralf (2006), „On Hopf algebra structures over free operads”, Advances in Mathematics, 207 (2): 544–565, arXiv:math/0407074  , doi:10.1016/j.aim.2005.12.004  , MR 2271016

Vezi și

Permutoedru

Legături externe

en Bryan Jacobs, Associahedron la MathWorld.
en Strange Associations - AMS column about Associahedra
en Ziegler's Lecture on the Associahedron. Notes from a lecture by Günter Ziegler at the Autonomous University of Barcelona, 2009.
en Lecture on Associahedra and Cyclohedra. MSRI lecture notes.

Portal Matematică

[1] Stasheff, James Dillon (1963), „Homotopy associativity of H-spaces. I, II”, Transactions of the American Mathematical Society, 108: 293–312, doi:10.2307/1993609 , MR 0158400. Revised from a 1961 Ph.D. thesis, Princeton University

[2] r Tamari, Dov (1951), Monoïdes préordonnés et chaînes de Malcev, Thèse, Université de Paris, MR 0051833

[csz-3] Ceballos, Cesar; Santos, Francisco; Ziegler, Günter M. (2015), „Many non-equivalent realizations of the associahedron”, Combinatorica, 35 (5): 513–551, arXiv:1109.5544  , doi:10.1007/s00493-014-2959-9 

[4] Loday, Jean-Louis (2004), „Realization of the Stasheff polytope”, Archiv der Mathematik, 83 (3): 267–278, arXiv:math/0212126  , doi:10.1007/s00013-004-1026-y  , MR 2108555

[5] Hohlweg, Christophe; Lange, Carsten E. M. C. (2007), „Realizations of the associahedron and cyclohedron”, Discrete & Computational Geometry, 37 (4): 517–543, arXiv:math.CO/0510614  , doi:10.1007/s00454-007-1319-6  , MR 2321739

[6] Șirul A033282 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS) Triunghiul citit pe rânduri: T(n, k) este numărul de divizări diagonale ale unui n-gon convex în k+1 regiuni.

[7] Holtkamp, Ralf (2006), „On Hopf algebra structures over free operads”, Advances in Mathematics, 207 (2): 544–565, arXiv:math/0407074  , doi:10.1016/j.aim.2005.12.004  , MR 2271016

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]