Număr poligonal central

Număr poligonal central
Nr. total de termeni	infinit
Subșir al	număr poligonal
Formula
Primii termeni	1, 2, 4, 7, 11, 16, 22
Index OEIS	A000124; central polygonal numbers;

Nu confundați cu număr centrat poligonal.

În matematică un număr poligonal central este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un disc printr-un număr dat, $n$ , de drepte. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de clătită, pentru $n$ succesiv numerele sunt cunoscute drept șirul tăietorului leneș (în engleză lazy caterer's sequence). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un aranjament de drepte^⁠(d). Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea aranjament de hiperplane^⁠(d).

Prăjitură rotundă tăiată în 7 bucăți prin trei tăieturi

Analogul tridimensional al acestui șir este șirul numerelor de tort.

Formula șirului modificare

Numărul maxim de regiuni

p

care se pot obține prin

n

tăieturi drepte este al

n

-lea număr triunghiular plus 1, formând șirul tăietorului leneș

În triunghiul lui Bernoulli șirul tăietorului leneș este cel colorat verde

Numărul maxim de regiuni $p$ care se pot obține prin $n$ tăieturi drepte, unde $n \geq 0$ , este dat de formula:^[1]

p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.

Folosind coeficienții binomiali, formula poate fi exprimată sub forma:

p=1+{\dbinom {n+1}{2}}={\dbinom {n}{0}}+{\dbinom {n}{1}}+{\dbinom {n}{2}}.

De fapt, doar se adună 1 la numerele triunghiulare. Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli ( $k$ = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din $n$ tăieturi, unde $n$ ≥ 2.

Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal:^[2]

k n	0	1	2	Suma
0	1	-	-	1
1	1	1	-	2
2	1	2	1	4
3	1	3	3	7
4	1	4	6	11
5	1	5	10	16
6	1	6	15	22
7	1	7	21	29
8	1	8	28	37
9	1	9	36	46

Șirul, începând cu $n = 0$ , este:^[1]

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.^[3]

Demonstrație modificare

Numărul maxim de bucăți obținute prin tăieturi consecutive sunt numerele din șirul tăietorului leneș

Când un disc este tăiat de $n$ ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca $p = f (n)$ , trebuie luată în considerare a $n$ -a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este $f (n - 1)$ , în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este $n$ .

Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a $n$ -a dreaptă tăietoare ar trebui să intersecteze toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a $n$ -a dreaptă în sine este tăiată în $n - 1$ locuri și în $n$ segmente. Fiecare segment divide $(n - 1)$ bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact $n$ la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.

Astfel, numărul total de piese după $n$ tăieturi este:

f(n)=n+f(n-1).

Această relație de recurență poate fi rezolvată. Dacă $f (n - 1)$ este extins cu un termen, relația devine:

f(n)=n+(n-1)+f(n-2).

Dezvoltarea termenului $f (n - 2)$ poate continua până când ultimul termen este redus la $f (0)$ , astfel,

f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).

Fiindcă $f (0) = 1$ , deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:

f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).

Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice:

f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.

Note modificare

^ ^a ^b ^c ^d Șirul A000124 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Șirul A000124 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ en Yaglom, Akiva; Yaglom, Isaak (1987). Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions. 1. New York: Dover Publications.

Bibliografie modificare

en Moore, T. L. (1991), „Using Euler's formula to solve plane separation problems”, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi:10.2307/2686448, JSTOR 2686448
en Steiner, J. (1826), „Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space")”, J. Reine Angew. Math., 1: 349–364
en Wetzel, J. E. (1978), „On the division of the plane by lines” (PDF), American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, doi:10.2307/2320333, JSTOR 2320333, arhivat din original (PDF) la 21 iulie 2011, accesat în 15 decembrie 2008