Operator adjunct

În matematică, în special în teoria operatorilor^⁠(d), fiecare operator liniar $A$ peste un spațiu vectorial euclidian definește un operator adjunct $A^{*}$ peste acel spațiu conform regulii:

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,$

Unde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ este produsul scalar al spațiului vectorial.

Adjunctul mai poate fi numit și conjugat, iar cei care sunt propriul adjunct se numesc hermitici, după Charles Hermite. Adjunctul se notează adesea cu A^† în domenii precum fizica, mai ales atunci când este utilizat împreună cu notația bra-ket în mecanica cuantică. În dimensiunile finite în care operatorii sunt reprezentați prin matrice, adjunctul este dat de conjugata transpusă.

Definiția de mai sus a unui operator adjunct se extinde verbatim la operatorii liniari mărginiți^⁠(d) peste spațiile Hilbert $H$. Definiția a fost extinsă în continuare pentru a include operatori nemărginiți dens definiți^⁠(d) al căror domeniu este dens din punct de vedere topologic în — dar nu neapărat egal cu — $H.$

Definiție informală

Fie o aplicație liniară $A:H_{1}\to H_{2}$ între două spații Hilbert. Făcând abstracție de detalii, operatorul adjunct este operatorul liniar (în cele mai multe cazuri definit în mod unic). $A^{*}:H_{2}\to H_{1}$ care îndeplinește condiția

$\left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},$

Unde $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}$ este produsul scalar din spațiul Hilbert $H_{i}$, care este liniar în prima coordonată și antiliniar^⁠(d) în a doua coordonată. Se observă cazul special în care ambele spații Hilbert sunt identice și $A$ este un operator pe acel spațiu Hilbert.

Când se produsul scalar este înlocuit cu împerecherea duală, se poate defini adjunctul, numit și transpusă^⁠(d), al unui operator $A:E\to F$, Unde $E,F$ sunt spatii Banach cu norme corespunzatoare $\|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}$ . Aici (din nou, fără a lua în considerare detaliile), operatorul său adjunct este definit ca $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ cu

$A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),$

adica $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$ pentru $f\in F^{*},u\in E$ .

Definiția de mai sus în contextul spațiului Hilbert este de fapt doar o aplicație a cazului spațiului Banach atunci când se identifică un spațiu Hilbert cu dualul său. Atunci este firesc să se poată obține și adjunctul unui operator $A:H\to E$, Unde $H$ este un spațiu Hilbert și $E$ este un spațiu Banach. Dualul este atunci definit ca $A^{*}:E^{*}\to H$ cu $A^{*}f=h_{f}$ astfel încât

$\langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).$

Definiție pentru operatori nemărginiți între spații Banach

Fie spațiile Banach $\left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)$. Fie $A:D(A)\to F$ și $D(A)\subset E$, cu $A$ un operator liniar (posibil nemărginit) dens definit^⁠(d) (adică, $D(A)$ este dens în $E$). Atunci adjunctul său $A^{*}$ este definit după cum urmează. Domeniul este

$D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}$ .

Acum, pentru un $g\in D(A^{*})$ arbitrar, dar fix, se stabilește $f:D(A)\to \mathbb {R}$ cu $f(u)=g(Au)$ . Prin alegerea lui $g$ și definiția lui $D(A^{*})$, f este (uniform) continuă pe $D(A)$ deoarece $|f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}$ . Atunci, prin teorema Hahn-Banach^⁠(d) sau, alternativ, prin extensie prin continuitate, rezultă o extensie a lui $f$, numită ${\hat {f}}$ definită pe tot $E$. Această tehnică este necesară pentru a se obține ulterior $A^{*}$ ca operator $D\left(A^{*}\right)\to E^{*}$ în loc de $D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.$ Se observă și că aceasta nu înseamnă că $A$ poate fi extinsă pe orice $E$ dar extensia funcționează doar pentru anumite elemente $g\in D\left(A^{*}\right)$.

Acum se poate defini adjunctul lui $A$ drept

${\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}\end{aligned}}$

Identitatea fundamentală definitorie este astfel

$g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)$ pentru $u\in D(A).$

Definiția pentru operatori mărginiți între spații Hilbert

Presupunem că H este un spațiu Hilbert complex, cu produs scalar $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. Considerăm un operator liniar continuu A : H → H (pentru operatorii liniari, continuitatea este echivalentă cu mărginirea^⁠(d)). Atunci adjunctul lui A este operatorul liniar continuu A^∗ : H → H care satisface condiția

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{oricare ar fi }}x,y\in H.$

Existența și unicitatea acestui operator rezultă din teorema de reprezentare Riesz^⁠(d).

Aceasta poate fi văzută ca o generalizare a matricei adjuncte a unei matrice pătrate care are o proprietate similară care implică produsul interior complex standard.

Proprietăți

Următoarele proprietăți ale adjunctului de operatori mărginiți^⁠(d) sunt imediate:

1. Involutivitate : A^∗∗ = A
2. Dacă A este inversabilă, atunci la fel este A^∗, cu ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Anti-liniaritate^⁠(d) :
   • (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λA^∗, unde cu λ se notează conjugatul complex al numărului complex λ
4. „Anti-distributivitate”: (AB)^∗ = B^∗A^∗

Dacă definim norma operatorului^⁠(d) A prin

$\|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}$

atunci

$\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.$

Mai mult,

$\left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.$

Se spune că o normă care satisface această condiție se comportă ca „valoarea cea mai mare”, extrapolând din cazul operatorilor autoadjuncți.

Mulțimea operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert complex H împreună cu operația adjunctă și norma operatorului formează prototipul unei algebre C*^⁠(d) .

Adjunctul de operatori nemărginiți dens definiți între spațiile Hilbert

Definiție

Fie produsul scalar $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ liniar în primul argument. Un operator A dens definit^⁠(d) între un spațiu Hilbert complex H și el însuși este un operator liniar al cărui domeniu D(A) este un subspațiu liniar^⁠(d) dens al lui H și ale cărui valori se află în H. Prin definiție, domeniul D(A^∗) al adjunctului său A^∗ este mulțimea tuturor y ∈ H pentru care există un z ∈ H care satisface condiția

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{pentru orice }}x\in D(A).$

Datorită densității lui $D(A)$ și teoremei de reprezentare Riesz^⁠(d), $z$ este definit în mod unic și, prin definiție, $A^{*}y=z.$

Proprietăți 1.–5. rămân valabile cu clauze adecvate despre domenii și codomenii.  De exemplu, ultima proprietate afirmă acum că (AB)^∗ este o extensie a lui B^∗A^∗ dacă A, B și AB sunt operatori dens definiți.

ker A^* = (im A) ^⊥

Pentru orice $y\in \ker A^{*},$ funcționala liniară $x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ este identic zero și, prin urmare $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.$

Reciproc, presupunerea că dacă $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }$ rezultă că funcționala $x\mapsto \langle Ax,y\rangle$ este identic zero. Deoarece funcționala este în mod evident mărginită, definiția lui $A^{*}$ asigură că $y\in D(A^{*}).$ Faptul că, pentru fiecare $x\in D(A),$$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0$ demonstrează că $A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},$ dat fiind că $D(A)$ este dens.

Această proprietate arată că $\operatorname {ker} A^{*}$ este un subspațiu închis topologic chiar și atunci când $D(A^{*})$ nu este.

Interpretare geometrică

Dacă $H_{1}$ și $H_{2}$ sunt spații Hilbert, atunci $H_{1}\oplus H_{2}$ este un spațiu Hilbert cu produsul scalar

${\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},$

Unde $a,c\in H_{1}$ și $b,d\in H_{2}.$

Fie $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$ aplicația simplectică^⁠(d), de exemplu $J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).$ Atunci graficul

$G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H$

al lui $A^{*}$ este complementul ortogonal al lui $JG(A):$

$G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.$

Afirmația rezultă din echivalențele

${\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,$

și

${\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.$

Corolare

A^* este închis

Un operator $A$ este închis dacă graficul $G(A)$ este închis topologic în $H\oplus H.$ Graficul $G(A^{*})$ al operatorului adjunct $A^{*}$ este complementul ortogonal al unui subspațiu și, prin urmare, este închis.

A^* este dens definit ⇔ A este nemărginit

Un operator $A$ este nemărginit dacă închiderea topologică $G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H$ a graficului $G(A)$ este graficul unei funcții. Întrucât $G^{\text{cl}}(A)$ este un subspațiu liniar (închis), cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator liniar”. Pentru același motiv, $A$ este nemărginit dacă și numai dacă $(0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)$ cu condiția $v\neq 0.$

Adjunctul $A^{*}$ este dens definit dacă și numai dacă $A$ este nemărginit. Aceasta rezultă din faptul că, pentru orice $v\in H,$

$v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),$

ceea ce, la rândul său, se demonstrează prin următorul lanț de echivalențe:

${\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}$

A^** = A^cl

Închiderea $A^{\text{cl}}$ a unui operator $A$ este operatorul al cărui grafic este $G^{\text{cl}}(A)$ dacă acest grafic reprezintă o funcție. Ca mai sus, cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator”. În plus, $A^{**}=A^{\text{cl}},$ ceea ce înseamnă că $G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).$

Pentru a demonstra acest lucru, se observă că $J^{*}=-J,$ adică $\langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},$ pentru orice $x,y\in H\oplus H.$ Într-adevăr,

${\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}$

În special, pentru orice $y\in H\oplus H$ și orice subspațiu $V\subseteq H\oplus H,$$y\in (JV)^{\perp }$ dacă și numai dacă $Jy\in V^{\perp }.$ Prin urmare, $J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }$ și $[J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.$ Înlocuind $V=G(A),$ se obține $G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).$

A^* = (A^cl)^*

Pentru un operator nemărginit $A,$$A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},$ ceea ce înseamnă că $G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).$ Într-adevăr,

$G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).$

Contraexemplu în care adjunctul nu este dens definit

Fie $H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),$ unde $l$ este măsura liniară. Se alege o funcție măsurabilă, mărginită, neidentic zero $f\notin L^{2},$ și $\varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.$ Se definește

$A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.$

Rezultă că $D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.$ Subspațiul $D(A)$ conține toate funcțiile $L^{2}$ cu suport compact. Întrucât $\mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,$$A$ este dens definit. Pentru orice $\varphi \in D(A)$ și $\psi \in D(A^{*}),$

$\langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .$

Prin urmare, $A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.$ Definiția operatorului adjunct necesită ca $\mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.$ Întrucât $f\notin L^{2},$ acest lucru este posibil numai dacă $\langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.$ Din acest motiv, $D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.$ Prin urmare, $A^{*}$ nu este dens definit și este identic zero pe $D(A^{*}).$ Ca urmare, $A$ este nemărginit și nu are al doilea adjunct $A^{**}.$

Operatori hermitici

Un operator mărginit^⁠(d) A : H → H se numește hermitic sau autoadjunct^⁠(d) dacă

$A=A^{*}$

care este echivalent cu

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ pentru orice }}x,y\in H.$

Într-un anumit sens, acești operatori joacă rolul numerelor reale (sunt egali cu propriul lor „conjugat complex”) și formează un spațiu vectorial real. Ei servesc drept model de observabile^⁠(d) cu valori reale în mecanica cuantică.

Adjuncții operatorilor antiliniari

Pentru un operator antiliniar^⁠(d), definiția adjunctului trebuie ajustată pentru a compensa conjugarea complexă. Un operator adjunct al operatorului antiliniar A pe un spațiu Hilbert complex H este un operator antiliniar A^∗ : H → H cu proprietatea:

$\langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{pentru orice }}x,y\in H.$

Alți adjuncți

Ecuația

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle$

este formal similară cu proprietățile definitorii ale perechilor de functori adjuncți^⁠(d) din teoria categoriilor, care de aici și-au luat și numele.

Bibliografie

• Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (ed. first), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8 .
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis [Analiza funcțională]. International Series in Pure and Applied Mathematics (în engleză). 8 (ed. a doua). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.