Deschide meniul principal

Funcție

relație matematică binară între două mulțimi
(Redirecționat de la Funcție matematică)
Pentru alte sensuri, vedeți Funcție (dezambiguizare).
Pagina „F(x)” trimite aici. Pentru formația muzicală cu acest nume vedeți F(x) (formație).
Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul și codomeniul

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formalăModificare

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian : G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

  1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
  2. Pentru oricare două perechi (x1 , y1) și (x1, y2) din F, y1 = y2.

Funcțiile pot fi definite astfel:

  • Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
  • Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcțieiModificare

Imaginea unei funcții   este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile  . Se notează Im  sau  .

Im  sau
Im 

Graficul funcțieiModificare

Graficul funcției   Gf= 

ProprietățiModificare

InjectivitateModificare

Injecție
Surjecție
Bijecție

O funcție f:A→B se numește injectivă sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

  1.   atunci f(x)≠f(y) sau
  2.   dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția  .

Deoarece pentru   x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că funcția f este injectivă.

SurjectivitateModificare

O funcție f:A→B se numește surjectivă sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv,  , atunci   astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox printr-un punct   de pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este  , f(x)=|x|, atunci     astfel încât f(y)=f(-y)=y

BijectivitateModificare

O funcție f:A→B se numește bijectivă sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă  ,   unic astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un punct   de pe Oy intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este  , f(x)=x+3, atunci     astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcțiiModificare

O funcție   se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția   astfel încât  . Atunci   se numește „inversa” funcției   și se notează  . Funcția   este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

  • Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
  • Graficele funcțiilor   și   sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația  .

Paritatea funcțieiModificare

Funcția pară f(x)=x2
Funcția impară f(x)=x3

O funcție cu valori reale,   unde  , se numește „pară” dacă  . Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție   cu valori reale se numește „impară” dacă

  1.   sau
  2.  .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

ProprietățiModificare

  • Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
  • Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
  • Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
  • Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
  • Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
  • Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

MonotonieModificare

Legături externeModificare