Pentru alte sensuri, vedeți Matrice (dezambiguizare).

În matematică, o matrice (plural matrice[1] sau matrici[2]) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici n-dimensionale. Dacă m = n, matricea este pătrată.

Definiție

modificare

Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip  ) un tablou cu m linii și n coloane:

 

ale cărui elemente   sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează cu indici,   unde   și  

Pentru elementul   indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricilor de tip   cu elemente numere reale se notează prin   Aceleași semnificații au și mulțimile  

Cazuri particulare

modificare

1. O matrice de tipul   (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:

 

2. O matrice de tipul   (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

 

3. O matrice de tip   se numește nulă (sau matrice zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

 

4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:

 

Sistemul de elemente   reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:

 

Mulțimea matricelor pătrate se notează   Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:

 

și se numește matrice unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrice

modificare

Fie  ,  . Se spune că matricele   sunt egale și se scrie   dacă  

Transpusa unei matrice

modificare

Fie  . Transpusa matricei A este:

  dată de:  

Matrice simetrică

modificare

Fie matricea pătrată  . Se spune că matricea   este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: : 

Operații cu matrice

modificare

Adunarea matricelor

modificare

Fie  

Matricea C se numește suma matricelor A, B dacă:

 
Observații.

1. Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci  

2. Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:

 
 

Proprietăți ale adunării matricelor

modificare

Asociativitatea adunării. Adunarea matricelor este asociativă, adică:

 

Comutativitatea adunării. Adunarea matricelor este comutativă, adică:

 

Element neutru. Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

  astfel încât  

Element opus. Orice matrice   are un opus, notat   astfel încât:

 

Înmulțirea cu scalari a matricelor

modificare

Fie   și   Se numește produsul dintre scalarul   și matricea A, matricea notată   definită prin  

Observație

A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

 

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

modificare
 
 
 
 

Înmulțirea matricelor

modificare

Există mai multe tipuri de produse ale matricilor. Operația prezentată în continuare este cunoscută sub denumirea de înmulțirea matricială.[3]

Fie  

Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat   este matricea   definită prin:

 
Observații

Produsul   a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă   adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice  

Dacă matricele sunt pătrate   atunci are sens întotdeauna atât   cât și   iar în general,   adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricelor

modificare

Asociativitatea înmulțirii. Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:

 

Distributivitatea înmulțirii față de adunare. Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:

 

matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

Dacă   este matricea unitate, atunci:

 

se spune că   este element neutru.

Determinanți

modificare

Dacă   este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:

 

se numește determinantul lui A.

  1. ^ Forma matrice este impusă de Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române (2005).
  2. ^ Forma matrici apare în tratate de specialitate și cursuri universitare, de exemplu:
    Iacob, Caius (). „VIII.B - Matrici. Grupuri. Spații lineare”. Curs de matematici superioare. București: Editura Tehnică. pp. 808–851. 
    Țițeica, Șerban: Mecanică cuantică, Editura Academiei RSR, București, 1984, V: Spații vectoriale finit-dimensionale, pp. 83–108.
  3. ^ Anca Ignat, Calcul numeric Arhivat în , la Wayback Machine. (curs 2, 2022, p. 2), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-06-13

Bibliografie

modificare

Lectură suplimentară

modificare
  • Tiberiu Ionescu, Grafuri, aplicații, vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973;
  • Alexandru Al. Roșu, Teoria grafelor, algoritmi, aplicații (cap. 4. Matrice asociate grafelor, pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare