Pentru alte sensuri, vedeți Matrice (dezambiguizare).

În matematică, o matrice (plural matrici) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătrată.

Cuprins

DefinițieModificare

Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip  ) un tablou cu m linii și n coloane:

 

ale cărui elemente   sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează și   unde   și   Pentru elementul   indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricelor de tip   cu elemente numere reale se notează prin   Aceleași semnificații au și mulțimile  

Cazuri particulareModificare

1) O matrice de tipul   (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:

 

2) O matrice de tipul   (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

 

3) O matrice de tip   se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

 

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:

 

Sistemul de elemente   reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:

 

Mulțimea matricelor pătrate se notează   Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:

 

și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matriceModificare

Definiție. Fie  ,  . Se spune că matricele   sunt egale și se scrie   dacă  

Transpusa unei matriceModificare

Definiție. Fie  .

Transpusa matricei A este:

T  dată de:  

Matrice simetricăModificare

Definiție. Fie matricea pătrată  . Spunem că matricea   este simetrică dacă este egală cu transpusa ei:  Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numește matrice de tipul (m, n), cu m linii și n coloane.

O matrice care are o dimensiune egală cu 1 se numește vector. O matrice A[1,n] (1 linie și n coloane) se numește vector linie, iar o matrice B[m,1] ( o coloană și m linii) se numește vector coloană. Exemple:

Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12. este o matrice de tipul (1, 7) sau vector linie.

O matrice A(m,n) care are m = n se numește matrice pătrată. Deci, o matrice pătrată este matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane.

Operații cu matriceModificare

Adunarea matricelorModificare

Fie  

Matricea C se numește suma matricelor A, B dacă:

 

Observații.

1) Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci  

2) Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:

 
 

Proprietăți ale adunării matricelorModificare

  (Asociativitatea adunării). Adunarea matricelor este asociativă, adică:

 

  (Comutativitatea adunării). Adunarea matricelor este comutativă, adică:

 

  (Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

  astfel încât  

  (Elemente opuse). Orice matrice   are un opus, notat   astfel încât:

 

Înmulțirea cu scalari a matricelorModificare

Fie   și   Se numește produsul dintre scalarul   și matricea A, matricea notată   definită prin  

Observație

A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

 

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalariModificare

 

 

 

 

Înmulțirea matricelorModificare

Fie  

Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat   este matricea   definită prin:

 

Observații

1) Produsul   a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă   adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).

2) Dacă matricele sunt pătrate   atunci are sens întotdeauna atât   cât și   iar în general,   adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricelorModificare

  (Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:

 

  (Distributivitatea înmulțirii față de adunare). Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:

  matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

  Dacă   este matricea unitate, atunci:

 

spunem că   este element neutru

DeterminanțiModificare

Dacă   este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:

 

se numește determinantul lui A.

Vezi șiModificare

Legături externeModificare