Mulțime închisă multiplicativ

În algebra abstractă o mulțime închisă multiplicativ (sau mulțime multiplicativă) este o submulțime S a unui inel R în care sunt valabile următoarele două condiții:

• $1\in S$,
• $xy\in S$ pentru toți $x,y\in S$.

Cu alte cuvinte, S este închisă pentru produsele finite, inclusiv produsul vid^⁠(d) 1. Echivalent, o mulțime multiplicativă este un submonoid al monoidului multiplicativ al unui inel.

Mulțimile multiplicative sunt importante mai ales în algebra comutativă, unde sunt folosite pentru a construi localizări^⁠(d) de inele comutative.

O submulțime S a unui inel R se spune că este saturată dacă este închisă pentru diviziune: adică, ori de câte ori un produs xy este în S, elementele x și y sunt și ele în S.

Exemple

Exemple de mulțimi multiplicative:

• complementara unui ideal prim dintr-un inel comutativ;
• mulțimea {1, x, x², x³, ...} , unde x este un element al unui inel;
• mulțimea unităților^⁠(d) unui inel;
• mulțimea divizorilor dintr-un inel care nu sunt divizori ai lui zero;
• 1 + I pentru un ideal I;
• numerele Jordan–Pólya, închiderea multiplicativă a factorialelor.

Proprietăți

• Un ideal P al unui inel comutativ R este prim dacă și numai dacă complementara sa R \ P este închisă multiplicativ.
• O submulțime S este atât saturată, cât și închisă multiplicativ dacă și numai dacă S este complementara unei reuniuni de ideale prime. În special, complementara unui ideal prim este atât saturată, cât și închisă multiplicativ.
• Intersecția unei familii de mulțimi multiplicative este o mulțime multiplicativă.
• Intersecția unei familii de mulțimi saturate este saturată.

Bibliografie

• en M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
• en David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
• en Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (ed. Revised), University of Chicago Press, MR 0345945 
• en Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.