În matematică polinoamele aditive sunt un subiect important în teoria algebrică a numerelor⁠(d).

Definiție

modificare

Fie k un corp de numere prime cu caracteristica p. Un polinom P(x) cu coeficienți în k se numește polinom aditiv sau polinom Frobenius dacă

 

ca polinoame în a și b. Este echivalent să se presupună că această egalitate este valabilă pentru toate a și b într-un corp infinit care conține k, cum ar fi închiderea sa algebrică.

Ocazional, termenul de aditiv absolut este folosit pentru condiția de mai sus, iar aditiv este folosit pentru condiția mai slabă   pentru toate a și b din corp. Pentru corpuri infinite condițiile sunt echivalente, dar pentru corpurile finite nu sunt, iar condiția mai slabă este „greșită”, deoarece nu se comportă bine. De exemplu, peste un corp de ordin q orice P multiplu al lui   va satisface   pentru toate a și b din domeniu, dar de obicei nu vor fi (absolut) aditive.

Polinomul xp este aditiv. Într-adevăr, pentru orice a și b din închiderea algebrică a lui k din binomul lui Newton avem

 

Deoarece p este prim, pentru toți n = 1, ... , p−1 coeficientul binomial   este divizibil cu p, ceea ce implică

 

ca polinoame în a și b.

Similar, toate polinoamele de forma

 

sunt aditive, unde n este un număr întreg nenegativ.

Definiția are sens chiar dacă k este un corp de caracteristică 0, dar în acest caz singurele polinoame aditive sunt cele de forma ax pentru unele a din k.

Inelul polinoamelor aditive

modificare

Este relativ ușor de demonstrat că orice combinație liniară⁠(d) de polinoame   cu coeficienți în k este un polinom aditiv. O întrebare interesantă este dacă există și alte polinoame aditive, cu excepția acestor combinații liniare. Răspunsul este că acestea sunt singurele.

Se poate arăta că dacă P(x) și M(x) sunt polinoame aditive, atunci la fel sunt și   și  . Acestea implică faptul că polinoamele aditive formează un inel pentru adunarea polinoamelor și compunerea funcțiilor⁠(d). Acest inel este notat

 

Acest inel nu este comutativ decât dacă k este corpul  . Într-adevăr, fir polinoamele aditive ax și xp pentru un coeficient a din k. Pentru ca ele să fie comutative la compunere, trebuie să avem

 

și prin urmare   Acest lucru este fals dacă a nu este o rădăcină a acestei ecuații, adică pentru a în afara  

Teorema fundamentală a polinoamelor aditive

modificare

Fie P(x) un polinom cu coeficienți în k și   mulțimea rădăcinile sale. Presupunând că rădăcinile lui P(x) sunt distincte (adică P(x) este un polinom separabil), atunci P(x) este aditiv dacă și numai dacă mulțimea   formează un subgrup.

Bibliografie

modificare
  • en David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. ISBN: 3-540-61087-1.

Legături externe

modificare