Produs extern

operație matematică
(Redirecționat de la Produs diadic)
Nu confundați cu Produs exterior.

În algebra liniară, produsul extern,[1] (sau produsul diadic[1]) a doi vectori de coordonate este o matrice. Dacă cei doi vectori au dimensiunile n și m, atunci produsul lor exterior este o matrice n × m. Mai general, având în vedere doi tensori (matrici multidimensionale), produsul lor extern este un tensor. Produsul extern al tensorilor este denumit și produsul tensorial⁠(d) al acestora și poate fi folosit pentru a defini algebra tensorială⁠(d).

Produsul extern diferă de:

Definiție

modificare

Fiind dați doi vectori de dimensiunile   și     produsul lor extern, notat   este matricea   obținută prin înmulțirea fiecărui element al   cu fiecare element al  :[2]

 

Sau, în notație indexată:

 

Notând produsul scalar cu   dacă se dă un vector   atunci   Dacă se dă un vector   atunci  

Dacă   și   sunt vectori de aceeași dimensiune mai mare decât 1, atunci  

Produsul extern   este echivalent cu înmulțirea matricilor   cu conditia ca   să fie un vector coloană   iar   un vector coloană   (care produc vectorul linie  ).[3][4] De exemplu, dacă   și   atunci[5]

 

Pentru vectori complecși este adesea util să se ia adjuncta lui   denumită   sau  :

 

Deosebirea față de produsul intern euclidian

modificare

Dacă   atunci se poate obține produsul matricial pe altă cale, obținând un scalar (sau o matrice  ):

 

care este produsul intern standard pentru spații vectoriale euclidiene,[4] cunoscut mai bine sub denumirea de produs scalar. Produsul scalar este urma produsului extern.[6] Spre deosebire de produsul scalar, produsul extern este necomutativ.

Înmulțirea unui vector   cu o matrice   poate fi scrisă în termenii produsului intern, folosind relația  .

Produsul extern al tensorilor

modificare

Fiind dați doi tensori,   cu dimensiunile   și  , produsul lor extern   este un tensor cu dimensiunile   și elementele

 

De exemplu, dacă   este de ordinul 3 cu dimensiunile   și   este de ordinul 2 cu dimensiunile   atunci produsul lor extern   este de ordinul 5 cu dimensiunile   Dacă   are o componentă A[2, 2, 4] = 11 iar   are o componentă B[8, 88] = 13, atunci componenta   formată din produsul extern este C[2, 2, 4, 8, 88] = 143.

  1. ^ a b Emil Petre, Optimizări, Cap. 1 Introducere în problematica optimizării sistemelor, (curs, 2008), Universitatea din Craiova, p. 1–11, accesat 2023-04-13, (arhivat)
  2. ^ en Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (). Encyclopaedia of Physics  (ed. 2nd). VHC. ISBN 0-89573-752-3. 
  3. ^ en Lipschutz, S.; Lipson, M. (). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (ed. 4th). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  4. ^ a b en Keller, Frank (). „Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product” (PDF). inf.ed.ac.uk. Accesat în . 
  5. ^ en James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press, ISBN: 0-306-42433-9
  6. ^ en Stengel, Robert F. (). Optimal Control and Estimation. New York: Dover Publications. p. 26. ISBN 0-486-68200-5. 

Lectură suplimentară

modificare

Vezi și

modificare