Teorema de integrabilitate a lui Frobenius

Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii.

Punerea problemei

O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie:

$\Omega =a_{1}(\mathbf {x} )dx_{1}+a_{2}(\mathbf {x} )dx_{2}+...+a_{n}(\mathbf {x} )dx_{n}\qquad \qquad (1.1)\,$

unde a₁,a₂,..,a_n sunt funcții netede (cu cel puțin o derivată continuă) de x=(x₁,x₂,..x_n) iar dx_i sunt diferențiale (deplasări infinitezimale în direcțiile x_i). Dacă funcțiile x₁(t),....x_n(t), t ε [t₀,t₁], parametrizează o curbă C în spațiul n-dimensional Rⁿ, se poate defini univoc integrala :

$\int _{C}\Omega =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\sum _{i}a_{i}(\mathbf {x} ){\frac {dx_{i}}{dt}}dt.\qquad \qquad (1.2)\,$

Astfel de integrale apar în mod curent în calculul lucrului mecanic efectuat asupra unui sistem cu n grade de libertate. Funcțiile a_i(x) sunt „forțele”, presupuse cunoscute ca funcții de x.

Diferențiale totale

În fizică, o situație cu un interes deosebit este aceea în care forțele a_i derivă dintr-un potențial, adică există o funcție V(x) astfel incât

$a_{i}(x_{1},x_{2},..x_{n})=-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}(x_{1},x_{2},..x_{n}).\qquad \qquad (1.3)\,$

În această situație, 1-forma Ω este diferențiala totală a funcției -V:

$\Omega \equiv -dV=-\sum {\frac {\partial V(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}dx_{i}.\qquad \qquad (1.4)\,$

O consecință importantă este că integrala formei Ω este în acest caz independentă de drum: într-adevăr,

$\int _{C}\Omega =-\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\frac {d}{dt}}V(\mathbf {x(t)} )=V(\mathbf {x(t_{i})} )-V(\mathbf {x(t_{f})} )\qquad \qquad (1.5)\,$

iar forma drumului nu joacă nici un rol.

Chestiunea care se ridică este cum putem recunoaște, inspectând coeficienții a_i, dacă forma Ω reprezintă o diferențială totală. Răspunsul este bine cunoscut:dacă Ω este definită într-o vecinătate (stelată) U a unui punct x₀, atunci:
Condiția necesară și suficientă pentru ca Ω să fie diferențiala totală a unei funcții F(x) definită în U este ca, pentru orice pereche de indici i,j și pentru orice x ε U:

${\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}.\qquad \qquad \qquad (1.6)\,$

Necesitatea rezultă din faptul că, dacă există o funcție F astfel incât ∂F/∂x_i=a_i pentru toți indicii i, atunci derivatele ei mixte sunt egale (întrucât a_i au derivate continue):

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\qquad \qquad (1.7)$

Suficiența se arată construind explicit functia F(x) pornind de la valoarea ei (care poate fi prescrisă arbitrar) într-un punct luat pentru conveniență x₀=0 (=(0,0,0,..0)) prin:

$F(\mathbf {x} )=\int _{L}\sum a_{i}(\mathbf {x'} )dx_{i}'\qquad \qquad (1.8)\,$

unde L este segmentul de dreaptă care unește 0 cu x=(x1,x2,..xn). Dreapta este parametrizata de x_i'=t x_i, t ε (0,1) și atunci:

$F(\mathbf {x} )=\sum _{i}x_{i}\int _{0}^{1}a_{i}(tx_{1},tx_{2},..tx_{n})dt\,$

Arătăm că, într-adevăr: ∂F/∂x_k= a_k , pentru toți k=1,..n, dacă simetria (I) e indeplinită:

${\frac {\partial F}{\partial x_{k}}}=\int _{0}^{1}a_{k}(t\mathbf {x} )dt+\sum _{i}x_{i}\int _{0}^{1}{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{k}\prime }}(t\mathbf {x} )tdt=\int _{0}^{1}a_{k}(t\mathbf {x} )dt+\int _{0}^{1}\sum _{i}x_{i}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}\prime }}(t\mathbf {x} )tdt=\,$

$\int _{0}^{1}a_{k}(t\mathbf {x} )dt+\int _{0}^{1}{\frac {da_{k}(t\mathbf {x} )}{dt}}tdt=a_{k}(\mathbf {x} )\,$

unde în ultimul pas am integrat prin părți.

Legătura cu analiza vectorială

În 3 dimensiuni, dacă axele de coordonate sunt ortogonale,relația (I) exprimă faptul bine cunoscut (de exemplu în electrostatică): Câmpul de vectori cu componente (a₁(x),a₂(x),a₃(x)) derivă dintr-un potențial dacă și numai dacă rotorul său se anulează. Rotorul este câmpul de vectori (r₁,r₂,r₃) asociat lui (a₁,a₂,a₃) prin:

$r_{1}(\mathbf {x} )={\frac {\partial a_{2}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial a_{3}}{\partial x_{2}}},\qquad r_{2}(\mathbf {x} )={\frac {\partial a_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial a_{1}}{\partial x_{3}}},\qquad r_{3}(\mathbf {x} )={\frac {\partial a_{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial a_{1}}{\partial x_{1}}}\qquad (1.9)\,$

Invarianța la schimbări de coordonate

Proprietatea unei 1-forme de a fi o diferențială totală nu depinde de sistemul de coordonate ales; criteriul (1.6)este și el invariant: la o schimbare arbitrară de coordonate x_i= x_i(x'₁,x'₂,...x'_n nesingulară 1-forma Ω devine:

$\Omega =\sum a'_{i}(\mathbf {x'} )dx'_{i},{\mbox{cu }}a'_{i}=\sum a_{j}(\mathbf {x} ){\frac {\partial x_{j}}{\partial x'_{i}}}\qquad \qquad (1.10)\,$

Dacă notăm

$D_{ij}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}\qquad \qquad (1.11)\,$

se verifică ușor că:

$D'_{ij}=\sum _{k,l}D_{kl}{\frac {\partial x_{k}}{\partial x'_{i}}}{\frac {\partial x_{l}}{\partial x'_{j}}},\qquad \qquad (1.12)\,$

ceea ce arată direct că egalitatea (1.6) (D_ij=0) e satisfăcută în orice sistem de coordonate, dacă e îndeplinită într-unul oarecare.

Integrabilitate

Ecuația Ω=0 definește în fiecare punct x=(x₁,x₂,...x_n) un plan în „coordonatele” dx₁,...dx_n . Dacă Ω este o diferențială totală a unei funcții F(x), acest plan coincide cu planul tangent la suprafața F = constant. Putem zice că planele definite de Ω=0 "infășoară" suprafața F=const.

Ecuația Ω=0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru una din coordonate, de exemplu x_n: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in R^n-1 o curbă C: x₁(t),...x_n-1(t), ecuația Ω=0 devine o ecuație pentru variația cu parametrul t a coordonatei x_n(t). Dacă Ω este o diferențială totală atunci, independent de modul în care am ales curba C, punctul (x₁(t),...x_n-1(t),x_n(t))descrie o curbă C₁ aflată în întregime pe suprafața F=const (vezi Fig.1), unde constanta depinde de condițiile inițiale:

${\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}dt+...{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}dt={\frac {dF}{dt}}=0,\,$

deci F=const.

Fig.1.Integrabilitate:Toate soluţiile ecuaţiilor diferenţiale date de Ω=0 se găsesc pe aceeaşi suprafaţă

Aceste proprietăți pot rămâne adevărate si atunci cand Ω nu este o diferențială totală: pentru ca Ω=0 și dF = 0 să descrie același plan este suficientă proporționalitatea coeficienților diferențialelor dx_i cu un factor depinzând de punctul x = x₁,...,x_n):

$a_{i}(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} ){\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} ).\qquad \qquad (1.13)\,$

. Forma Ω o scriem atunci:

$\Omega =\mu (\mathbf {x} )dF\qquad \qquad (1.14)\,$

Spunem despre o formă Ω care satisface astfel de relații că este integrabilă. Factorul μ(x) se numește factor integrant(d). Factorul integrant(d) nu este unic definit: el poate fi înmulțit cu o funcție oarecare Ψ(F) și atunci:

$\Omega =\mu (\mathbf {x} )\Psi (F)dG,\qquad {\mbox{cu }}\qquad G=\int {\frac {dF}{\Psi (F)}}\qquad (1.15)\,$

În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala formei Ω este dependentă de drumul de integrare. Totuși, așa cum se întâmplă pentru diferențialele totale, toate soluțiile ecuației diferențiale reprezentate de ecuația Ω=0 se găsesc pe aceeași suprafață F(x)=constant. De asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea).

Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu sunt adevărate. Un exemplu pentru care neintegrabilitatea poate fi verificată foarte ușor direct este:

$\Omega =ydx-xdy+kdz,(k\neq 0):\qquad (1.16)\,$

integrând ecuația diferențială pentru z(x)obținută din Ω=0 de-a lungul dreptei y=x pornind din origine cu condiția inițială z(0,0)=0 obținem z(1,1)=0; integrând de-a lungul parabolelor y=ax²+(1-a)x obținem z(1,1)=a/3k (vezi Fig.2).

Fig.2.Neintegrabilitate:Integrarea pe drumuri diferite duce la rezultate diferite

Proprietatea de integrabilitate este invariantă atât la schimbări de coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x_i = x_i(x'₁,...x'_n), i=1,...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x_n=x_n(x₁,x₂,...x_n-1,x_n0), unde x_n0 este coordonata intersecției lor cu axa x_n și dacă ∂x_n/∂x_n0 ≠ 0, atunci o astfel de schimbare de variabile se obține din soluția acestei ecuații față de x_n0: x_n0=x_n0(x1,x2,..xn) și punând x₁' = x₁, x₂'=x₂,...x'_n-1=x_n-1 , x'_n=x_n0. În noile coordonate, ecuația suprafețelor devine simplu x_n0 = const. (Vezi Fig.3)

Fig.3.Suprafeţele înfăşurate de planele Ω=0 pot fi transformate în (hiper)plane paralele

Teorema lui Frobenius enunță condiții asupra coeficientilor a_i(x) necesare și suficiente pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă. Aceste condiții sunt evident, mai puțin restrictive decât cele date de (1.6) pentru. diferențiale totale.

Relevanța în termodinamică

În formularea termodinamicii după Carathéodory principiul al doilea este în mare măsură exprimat prin afirmația că forma diferențială DQ care reprezintă cantitatea de caldură schimbată de un sistem (simplu)cu exteriorul în cursul unui proces reversibil este integrabilă, în sensul paragrafului precedent. Forma DQ este :

$DQ=dU-Y_{1}(U,x_{1},x_{2},..)dx_{1}-Y_{2}(U,x_{1},x_{2},..)dx_{2}-...-Y_{n}(U,x_{1},x_{2},...x_{n})\qquad \qquad (1.17)\,$

unde x₁,x₂,...x_n sunt parametri geometrici ai sistemului, Y_i sunt „forțele” corespunzătoare (care pot duce la modificarea lor) iar U este energia internă , care - după principiul intâi - este o funcție univocă de parametrii care descriu starea sistemului. Aceștia sunt x₁,x₂,... și un parametru intensiv x₀(în mod obișnuit presiunea p sau temperatura T). Scriind expresia (1.17) am presupus că ecuația U=U(x₀,x₁,x₂,..x_n) este rezolvabilă în raport cu x₀, și deci că putem să folosim variabila U în locul acestuia. Forma DQ nu are o integrală independentă de drum, dar toate soluțiile ecuatiei DQ=0, adică multimea punctelor (U,x₁,x₂,...x_n) care sunt accesibile de la un punct inițial (U₀,x₁₀,...x_n0) prin procese adiabatice și reversibile se găsesc pe o suprafață:

$S(U,x_{1},x_{2},...x_{n})=const:\qquad \qquad (1.18)\,$

Acestea sunt suprafețele de entropie constantă. După Carathéodory, acesta este modul natural de a introduce conceptul de entropie.

Teorema lui Frobenius implică anumite constrângeri asupra parametrilor de forță Y_i(U,x₁,x₂,..x_n) prin care se asigură integrabilitatea formei DQ.

Situația n=3 în detaliu

Cazul preliminar n=2

O formă diferențială care conține numai doi termeni:

$\Omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy\qquad \qquad (2.1)\,$

este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x₀₀,y₀₀), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x₀₀,y₀₀) ≠ 0, ecuația:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {a(x,y)}{b(x,y)}}\equiv f(x,y)\qquad \qquad (2.2)\,$

are o soluție unică y(x,y₀) definită intr-o vecinătate U_x X U_y a lui (x₀₀,y₀₀), cu derivate continue față de ambele variabile și astfel incât y(x₀₀,y₀)=y₀ pentru un y₀ în U_y. Deoarece ∂y(x,y₀)/∂y₀ tinde către 1 când x tinde către x₀₀ , putem rezolva ecuația y=y(x,y₀) față de y₀ pentru x și y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x₀₀,y₀₀):

$y_{0}=y_{0}(x,y).\qquad \qquad (2.3)\,$

Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y₀), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y₀(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației.

Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y₀):

$dy={\frac {\partial y}{\partial x}}dx+{\frac {\partial y}{\partial y_{0}}}dy_{0}=-{\frac {a(x,y)}{b(x,y)}}dx+{\frac {\partial y}{\partial y_{0}}}dy_{0},\,$

deducem :

$\Omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy=b(x,y){\frac {\partial y}{\partial y_{0}}}dy_{0}\qquad (2.4)\,$

și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y₀)(x,y))b(x,y). În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și x'=x) "integrează" 1-forma Ω : soluțiile lui Ω=0 sunt y₀ = const (vezi Fig.4). În 2 dimensiuni, aceasta este totdeauna posibil.

Fig.4:Integrabilitatea pentru n=2

Comentariu cu privire la termodinamică

Interpretarea (inversului) temperaturii absolute ca factor integrand al cantității de căldură este datorită lui Helmholtz. Faptul că pentru n=2 găsirea factorului integrand este simplă și totdeauna posibilă face ca termodinamica să poată fi prezentată fără dificultățile matematice legate de forme diferențiale generale: într-adevăr, mărimile legate de obiectele standard de studiu (gazele) sunt forme diferențiale cu n=2 :

$DQ=dU+pdV.\qquad \qquad (2.5)\,$

Dacă ne restrângem la astfel de sisteme, cazul n=3 - care se dovedește a fi esențial pentru analiza echilibrului termic - poate fi tratat fără a face recurs la "teoria generală" urmând pe Max Planck. O prezentare detaliată a procedurii sale se găsește într-un articol separat

.

Condiția lui Frobenius pentru n=3

Pentru n≥3 1-formele diferențiale nu sunt integrabile, decât dacă anumite condiții asupra coeficienților lor sunt îndeplinite. Deducția acestor condiții pentru n=3 o prezentăm aici; cazul general (n oarecare) păstrează același spirit și este tratat sumar în paragraful următor. Presupunem că ne aflăm într-o vecinătate a unui punct (x₀₀,y₀₀,z₀₀) unde cel puțin unul din coeficienții a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z) ai formei

$\Omega =a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy+c(x,y,z)dz\qquad (2.6)\,$

nu se anulează. Presupunem că acesta este c(x,y,z), astfel incât (impărțind cu c(x,y,z) și renotând a/c cu a, b/c cu b)) este suficient să considerăm formele:

$\Omega =dz+a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy.\qquad \qquad (2.7)\,$

Prin analogie cu n=2, considerăm intâi ecuația:

$dz=-a(x,y,z)dx-b(x,y,z)dy\qquad \qquad (2.8)\,$

care poate fi privită ca o ecuație diferențială pentru z(x) pentru orice fel de alegere a unei functii y(x,y₀₀) cu y(x₀₀) = y₀₀. Soluțiile tuturor acestor ecuații se află pe aceeași suprafață z=z(x,y,z₀₀) dacă, pentru orice alegere a lui y(x,y₀₀), funcția z(x,y(x,y00),z00) verifică relația (2.8) :

$dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy=-a(x,y,z(x,y,z_{00}))dx-b(x,y,z(x,y,z_{00}))dy.\qquad (2.9)\,$

Cum y(x,y₀₀) este arbitrar, aceasta este posibil numai dacă:

${\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y,z_{00})=-a(x,y,z(x,y,z_{00}))\qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y,z_{00})=-b(x,y,z(x,y,z_{00})),(2.10)\,$

pentru orice x,y în vecinătatea lui (x₀₀,y₀₀)Aceste două ecuații pentru z(x,y,z₀₀) pot admite o solutie numai dacă ∂²z/∂x∂y este același, indiferent dacă e calculat prin prima sau a doua ecuație. Această condiție este:

$-{\frac {\partial a}{\partial y}}-{\frac {\partial a}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial y}}=-{\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial b}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}\qquad (2.11)\,$

substituind pentru ∂z/∂x,∂z/∂y expresiile (II) obținem condiția necesară:

${\frac {\partial a}{\partial y}}-{\frac {\partial b}{\partial x}}=b{\frac {\partial a}{\partial z}}-a{\frac {\partial b}{\partial z}}.\qquad \qquad (2.12)\,$

Raționamentul poate fi repetat pentru orice punct (x₀₀,y₀₀,z₀), cu z₀ într-o vecinătate suficient de mică a lui z₀₀; obținem suprafețe z(x,y,z₀) care verifică ecuația (2.12) și pentru care z(x₀₀,y₀₀,z₀)=z₀. Pentru ele ∂z/∂z₀ tinde către 1 când x,y tind catre x₀₀,y₀₀. Deci putem rezolva ecuația z=z(x,y,z₀) față de z₀ pentru x,y,z suficient de aproape de (x₀₀,y₀₀,z₀₀). Deducem că ecuația (2.12) este satisfăcută pentru orice (x,y,z) în această vecinătate.

Condiția (2.12) poate fi scrisă în mod simetric fata de coeficienții a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z) (revenind la notațiile inițiale înlocuind in (2.12) a(x,y,z) și b(x,y,z) cu a(x,y,z)/c(x,y,z) și b(x,y,z)/c(x,y,z):

$({\frac {\partial a}{\partial y}}-{\frac {\partial b}{\partial x}})c+({\frac {\partial b}{\partial z}}-{\frac {\partial c}{\partial y}})a+({\frac {\partial c}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial z}})b=0.\qquad \qquad (2.13)\,$

Dacă direcțiile axelor x,y,z sunt reciproc ortogonale, această expresie înseamnă că rotorul câmpului de vectori cu componente a(x,y,z),b(x.y.z),c(x,y,z) nu trebuie să fie neapărat zero (așa cum este în cazul diferențialelor exacte, vezi condiția (1.6)) ci numai componenta lui de-a lungul normalei planului Ω = adx + bdy + cdz = 0 trebuie să se anuleze. În paragraful următor arătăm cum condiția (2.13) trebuie generalizată la n dimensiuni.

Remarcă:dacă b=0, atunci condiția (2.12) se reduce la ∂a/∂y=0:dacă diferențiala dy nu apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient.

Folosind această remarcă, arătăm acum suficiența condiției (2.13) și cum se poate construi explicit funcția z(x,y). Considerăm pentru aceasta la fiecare x fixat (dx=0) ecuația diferențială pentru z(x,y):

${\frac {dz}{dy}}=-b(x,y,z)\qquad \qquad (2.14)\,$

care are, într-o vecinătate U a punctului considerat (x₀₀,y₀₀,z₀₀) o soluție z(x,y,z₁), unde variabila z₁ este definită de condiția inițială : z(x,y₀₀,z₁) = z₁. La fiecare x fixat, ecuația z=z(x,y,z₁) poate fi rezolvată față de z₁, ca mai sus. Facem acum schimbarea de variabile:

$x=x',\qquad \qquad y=y',\qquad \qquad z=z(x,y,z_{1})\qquad (2.15)\,$

unde am folosit soluția ecuației (2.14); după această transformare, 1-forma Ω devine:

$\Omega ={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy+{\frac {\partial z}{\partial z_{1}}}dz_{1}-a(x,y,z(x,y,z_{1}))dx-b(x,y,z(x,y,z_{1}))dy.\,$

Dar în virtutea ecuației (2.14) termenii conținând pe dy dispar. După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z₁, dependența de y trebuie să dispară complet când coeficientul lui dx sau dz₁ este o constantă:

$\Omega =({\frac {\partial z}{\partial z_{1}}})(dz_{1}+({\frac {\partial z}{\partial z_{0}}})^{-1}({\frac {\partial z}{\partial x}}-a(x,y,z(x,y,z0))dx)\equiv ({\frac {\partial z}{\partial z_{1}}})(dz_{1}+C(x,z_{1})dx)\,$

Dar atunci Ω' nu conține decât două variabile și este integrabilă după § 2.1.

Integrarea treptată, întâi după y, apoi după x, pentru o formă integrabilă cu trei variabile

În Fig.5 este ilustrată această procedură: dispariția dependenței de y înseamnă că, prin transformarea (2.15) suprafețele integrale au fost transformate în "cilindri" paraleli cu axa y. Scriind z₁ =z₁(x,z₀) pentru soluția cu condiția la limită z1(x₀₀,z₀)=z₀, putem scrie pe Ω sub forma (1.14):

$\Omega =c(x,y,z)({\frac {\partial z}{\partial z_{1}}})({\frac {\partial z_{1}}{\partial z_{0}}})dz_{0}.\qquad \qquad (2.16)\,$

Suprafețele pe care se află soluțiile ecuațiilor diferențiale date de Ω=0 sunt z₀(x,y,z)=const. Dependența de x,y,z a lui z₀ se obține rezolvând pentru z₀ ecuația z = z(x,y,,z1(x,z0)).

Un exemplu

Considerăm

$\Omega =3yzdx+2xzdy+xydz\qquad (2.17)\,$

pentru x,y,z împrejurul lui (x₀₀,y₀₀,z₀₀)=(1,1,1). Condiția (2.13) este satisfăcută, dar Ω nu e o diferențială totală. Pentru a găsi pe F (a "integra" pe Ω) , rezolvăm întâi Ω=0 punând x=const (dx=0); obținem soluția z(x,y,z₁)=z₁/y² (z=z₁ când y=1). În noile variabile x,y,z₁:

$\Omega ={\frac {x}{y}}(dz_{1}+3{\frac {z_{1}}{x}}dx).\,$

Soluția ecuației Ω=0 (trebuie să fie independentă de y!) este z₁(x,z₀)=z₀/x³ cu condiția la limită z₁(1,z₀)=z₀ Deducem: z = z₀/(x³y²), deci o funcție F posibilă este:

$F=x^{3}y^{2}z\,$

Cazul general (n oarecare)

Construcția de la paragraful precedent se poate generaliza pentru n oarecare. În loc de o singură condiție de integrabilitate, rezultând din egalitatea derivatelor parțiale, vom avea in general C^n-1₂ = (n-1)(n-2)/2 condiții, toate însă având aceeași formă ca și (2.12) de mai sus: în loc de z(x,y) căutăm în general o soluție x_n(x₁,...,x_n-1) a ecuației Ω = 0. De asemenea forma simetrică (2.13) a condiției de integrabilitate nu poate fi generalizată, deoarece matricii antisimetrice asociată natural cu ∂a_i/∂x_j-∂a_j/∂x_i (aici am pus x_n ≡ z) nu îi corespunde un vector cu n componente, pentru n ≠ 3. Există însă un mod elegant, indicat de Frobenius , de a formula condițiile de integrabilitate pentru un n oarecare într-un mod care este formal invariant, atât la schimbarea lui n, cât și la schimbări ale coordonatelor. Arătăm cum se face aceasta pentru n=3 și enunțăm rezultatul în cazul general. Folosind notațiile x₁=x, x₂=y, x₃=z, a₁=a,a₂=b,a₃=c și D_ij din (1.11), rescriem condiția (2.12) sub forma:

$\sum _{i,j}D_{ij}u_{i}v_{j}=0\qquad \qquad (3.1)\,$

unde u = (c,0,-a), v=(0,c,-b) sunt doi vectori, ale căror componente le notăm cu u_i, v_j, i,j=1,2,3. Cei doi vectori se află în planul Ω=0:

$\sum _{i=1}^{3}a_{i}u_{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}v_{i}=0.\qquad \qquad (3.2)\,$

Drept consecință a antisimetriei lui D_ij forma(3.1) se anulează și dacă înlocuim pe u,v cu orice combinații liniare ale lor, cu alte cuvinte pentru orice doi vectori din planul Ω = 0. Formularea (3.1) & (3.2) (ca și (2.13) când n=3) este invariantă la schimbări de coordonate: aceasta se vede din formula (1.2.2) și ținând seama că u_i,v_j se transformă la fel ca și diferențialele dx_i:

$\ u'_{i},v'_{i}=\sum _{l}{\frac {\partial x'_{i}}{\partial x_{l}}}u_{l},v_{l}\qquad \qquad (3.3)\,$

astfel incât expresiile (3.1) și (3.2) păstrează aceeași formă.

Cu aceasta, teorema lui Frobenius(1877) pentru n oarecare este:
Condiția necesară și suficientă pentru ca forma Ω să fie integrabilă este ca :

$\sum _{i,j}({\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}})u_{i}v_{j}=0,\qquad \qquad (3.4)\,$

pentru orice doi vectori u,v din (hiper)planul Ω = 0 (Σ a_iu_i = Σ a_iv_i = 0).

Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente.

Remarca din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx_a - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x₀, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x_a. Aceasta este o consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția explicită a suprafeței integrale, iterând procedura de la sfârșitul paragrafului (începând de la ecuația (2.14))

Exprimarea în limbajul formelor diferențiale

Condițiile de integrabilitate ale lui Frobenius pot fi exprimate foarte elegant în limbajul modern al formelor diferențiale. Amintim aici numai strictul necesar:

Fie e₁,e₂,...e_n o bază pentru Rⁿ.O 1-formă diferențială asociază fiecărui punct x= x¹e₁ + x²e₂+...x ⁿe_n dintr-o mulțime deschisă U din Rⁿ o formă liniară definită pe Rⁿ. Dacă εⁱ sunt formele liniare pe Rⁿ definite prin

$\epsilon ^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}.\qquad \qquad (4.1)\,$

numim dxⁱ acea 1-formă diferențială egală în fiecare x cu εⁱ. O 1-formă diferențială arbitrară se poate scrie:

$\Omega =\sum _{i}a_{i}(x_{1},x_{2},..x_{n})dx^{i}\qquad \qquad (4.2)\,$

unde a_i sunt funcții netede de x (ca mai sus). Produsul exterior a două 1-forme Ω₁ si Ω₂ este o formă biliniară antisimetrică asociată fiecărui punct x din U(o 2-formă); spațiul liniar al formelor biliniare antisimetrice are la fiecare x dimensiunea n(n-1)/2; o bază formează produsele dxⁱΛ dx^j definite pe doi vectori ξ₁,ξ₂ din Rⁿ prin

$dx^{i}\wedge dx^{j}(\xi _{1},\xi _{2})=\xi _{1}^{i}\xi _{2}^{j}-\xi _{2}^{i}\xi _{1}^{j}:\qquad \qquad (4.3)\,$

este aria proiecției paralelogramului subîntins de ξ₁, ξ₂ pe subspațiul subîntins de e_i, e_j. Se verifică:

$\Omega \wedge \Omega =0,\qquad \qquad dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}\qquad \qquad (4.4)\,$

Diferențiala exterioară a unei 1-forme este o 2-formă, definită prin

$d\Omega =\sum _{i}da_{i}(x)\wedge dx^{i}\qquad \qquad (4.5)\,$

unde da_i este 1-forma dată de diferențiala totală a lui a_i. Un calcul simplu arată că

$d\Omega =\sum _{i,j,i<j}({\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}})dx^{i}\wedge dx^{j}.\qquad \qquad (4.6)\,$

Analog, produsul exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x₁,x₂,...x_n) a 3-formelor elementare dxⁱ Λ dx^j Λ dx^k; acestea sunt funcționale (multi)liniare total antisimetrice de 3 vectori :

$dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})=det(\xi _{1}^{ijk},\xi _{2}^{ijk},\xi _{3}^{ijk})\qquad (4.7)\,$

= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ_m, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e_i, e_j, e_k. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este ca 2-forma dΩ să se anuleze pe orice pereche de vectori pe care Ω se anulează.

Evident, mulțimea vectorilor pe care Ω se anulează formează un subspațiu (n-1)-dimensional al lui Rⁿ; să alegem o baza (e_n) a lui Rⁿ astfel incât primii n-1 vectori sa subîntindă (hiper)planul Ω = 0. Putem exprima atunci foarte elegant condiția lui Frobenius prin egalitatea:

$d\Omega \wedge \Omega =0.\qquad \qquad (4.8)\,$

Această expresie se anulează într-adevăr pe orice "triplet" de vectori din Rⁿ: e suficient sa verificăm aceasta pentru tripleți (e_i,e_j,e_k): dacă toți trei se află în planul Ω=0 egalitatea e evidentă: deci unul din ei trebuie sa fie e_n: dar atunci, când dΩ(e_i,e_n) ≠ 0, Ω (e_j)=0; când Ω(e_n) ≠ 0, atunci dΩ(e_i,e_j)=0.Aceasta justifică formularea (4.8).

Generalizări

Sisteme de 1-forme diferențiale

Teorema lui Frobenius poate fi generalizată la sisteme de p forme diferențiale cu n variabile (p≤n-1):

$\Omega ^{(q)}=\sum _{i}a_{i}^{(q)}(\mathbf {x} )dx_{i},q=1...p\qquad (5.1)\,$

Spunem că un astfel de sistem este integrabil daca există p funcții f₁(x),f₂(x),....astfel incât

$\Omega ^{(q)}=\sum b_{i}^{(q)}(\mathbf {x} )df_{i}(\mathbf {x} ),q=1,...,p\qquad (5.2)\,$

cu b^q_i funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:

$\Omega ^{(1)}=xdy-ydx+kdz\qquad \qquad \Omega ^{(2)}=xdy+dz\qquad (5.3)\,$

poate fi scris:

$\Omega ^{(1)}=(1+2y^{3})dx_{0}/3+dz_{0},\qquad \qquad \Omega ^{(2)}=(1-y^{3})dx_{0}/3+dz_{0}\qquad \,$

după schimbarea de variabile: x₀=x/y², z₀=z-x₀ (1-y³)/3.

În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt independente). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x_n - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx_i, i≤n-1 ca functie de dx_n, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f_i din (5.2).

Fig.6.Un sistem de două forme cu trei variabile este totdeauna integrabil

Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:

$\Omega ^{(q)}=0\qquad q=1,..p\qquad (5.4)\,$

se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui Rⁿ. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și n oarecare. Presupunem că cele două forme sunt independente, adică există un determinant de ordinul doi format din coeficienții a⁽¹⁾_i,a⁽²⁾_j care nu se anulează. Putem atunci „rezolva“ sistemul față de două diferențiale, pe care le numim dz₁,dz₂ astfel incât el ia forma:

$dz_{1}=a_{1}^{(1)}(x,y,z_{1},z_{2})dx+a_{2}^{(1)}(x,y,z_{1},z_{2})dy,\qquad \qquad \,$

$dz_{2}=a_{1}^{(2)}(x,y,z_{1},z_{2})dx+a_{2}^{(2)}(x,y,z_{1},z_{2})\qquad (5.5)\,$

Căutăm o soluție a acestui sistem z₁(x,y,z₁₀,z₂₀), z₂(x,y,z₁₀,z₂₀), unde z₁₀,z₂₀ sunt valorile luate de z₁,z₂ într-un punct x₀,y₀. Ca și în § 3, cele două egalități înseamnă că, pentru orice z₁₀,z₂₀:

${\frac {\partial z_{q}}{\partial x}}=a_{1}^{(q)}(\mathbf {x} ),\qquad \qquad {\frac {\partial z_{q}}{\partial y}}=a_{2}^{(q)}(\mathbf {x} ),\qquad q=1,2\qquad (5.6)\,$

O condiție necesară pentru existența unei soluții este ca, analog cu mai sus, ∂²z_q/∂x∂y să fie același, independent de ecuația din care este calculat. Se obțin două condiții (q=1,2) analoge cu (2.12);le reproducem pentru completitudine:

$({\frac {\partial a_{1}^{(q)}}{\partial y}}-{\frac {\partial a_{2}^{(q)}}{\partial x}})+a_{2}^{(1)}{\frac {\partial a_{1}^{(q)}}{\partial z_{1}}}-a_{1}^{(1)}{\frac {\partial a_{2}^{(q)}}{\partial z_{1}}}+a_{2}^{(2)}{\frac {\partial a_{1}^{(q)}}{\partial z_{2}}}-a_{1}^{(2)}{\frac {\partial a_{2}^{(q)}}{\partial z_{2}}}=0,q=1,2\qquad (5.7)\,$

In cartea sa Henri Cartan dă acestei condiții o formă mai transparentă; aici vrem să ne apropiem de o formulare asemănătoare cu cea a Teoremei lui Frobenius (3.4) ;scriem pentru aceasta sistemul (5.5) sub forma (5.2), punând a⁽¹⁾₃=-1, a⁽¹⁾₄=0; a⁽²⁾₃=0, a⁽²⁾₄=-1:

$a_{1}^{(q)}dx+a_{2}^{(q)}dy+a_{3}^{(q)}dz_{1}+a_{4}^{(q)}dz_{2}=0\qquad q=1,2\qquad (5.8)\,$

și observând că egalitățile (5.7) pot fi scrise sub forma:

$\sum _{i,j}({\frac {\partial a_{i}^{(q)}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}^{(q)}}{\partial x_{i}}})u_{i}v_{j}=0,\qquad q=1,2\qquad (5.9)\,$

unde u = (1,0,a⁽¹⁾₁, a⁽¹⁾₂), v = (0,1,a⁽²⁾₁, a⁽²⁾₂) sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:

$\sum _{i}a_{i}^{(q)}u_{i}(v_{i})=0\qquad (5.10)\,$

(adică doi vectori din varietatea liniară Ω^(q)=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1).

Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (II) de forme diferențiale să fie integrabil, este ca cele p forme antisimetrice (5.9) să se anuleze pe orice pereche de vectori aparținând varietății liniare (5.10) determinate de Ω^(q)=0, q=1,..p.

Din (5.7) se vede că, dacă a^(q)₂(x)≡0, q=1,2, atunci ∂a^(q)₁/∂y = 0, q=1,2; deci, la fel ca în cazul unei singure forme (vezi remarca din §2.3), dacă un sistem de 1-forme este integrabil și coeficienții uneia din diferențiale se anulează identic, atunci variabila corespunzătoare dispare complet din toți coeficienții formelor sistemului . Aceasta este adevărat pentru orice p.

Cu aceasta, integrarea sistemului (5.5), atunci când (5.7) sunt satisfăcute, urmărește aceiași pași ca în cazul unei singure 1-forme: fixăm intâi pe x (dx=0) și obținem soluții z_1,2=z_1,2(x,y,ζ₁,ζ₂) ale ecuațiilor diferențiale corespunzătoare cu variabila independentă y: aici ζ₁, ζ₂ sunt valorile luate de z_1,2 într-un punct "inițial" y₀₀.Schimbând variabilele la x,y,ζ₁,ζ₂ coeficienții lui dy dispar complet, și, după ce sistemul a fost rezolvat față de diferențialele dζ₁,dζ₂, dependența de y dispare și ea. Dar acum avem de a face cu un sistem de 2 forme cu trei variabile independente, care este totdeauna integrabil. Procedura e ușor de generalizat pentru orice p, cu mai mulți pași intermdiari.

În limbajul formelor diferențiale, teorema lui Frobenius se exprimă pentru un sistem de p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:

$d\Omega ^{(q)}\wedge \Omega ^{(1)}\wedge \Omega ^{(2)}...\wedge \Omega ^{(p)}=0\qquad (5.11)\,$

pentru q=1,..p.

Ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale

Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de mai sus, se bazează pe studiul unor sisteme de ecuații liniare cu derivate parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel puțin unul din determinanții de ordin p ai sistemului nu se anulează, există n-p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A^(q)_i(x), q=1,...,n-p, i=1,...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1,...p):

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{(k)}(\mathbf {x} )A_{i}^{(q)}(\mathbf {x} )=0.\qquad \qquad (5.12)\,$

Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:

${\frac {dx_{i}}{dt}}=A_{i}^{(q)}(\mathbf {x} )\qquad \qquad (5.13)\,$

se găsesc pe o varietate n-p dimensională dată de ecuațiile f₁(x)=C₁,....,f_p(x)=C_p (vezi (5.2)), cu C₁,..,C_p constante. Deci, pentru orice k =1,...p:

${\frac {df_{k}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}A_{i}^{(q)}(x)=0,\qquad q=1,...,n-p\qquad (5.14)\,$

Concludem că, dacă sistemul (5.1) este integrabil, sistemul de n-p ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale:

$L^{(q)}f=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}A_{i}^{(q)}(x)=0\qquad q=1,...,n-p\qquad (5.15)\,$

admite p soluții independente, și anume f_k(x),k=1,..p. Numim un sistem cu această proprietate „complet“ (urmând pe Alfred Clebsch și pe Frobenius). Dacă p=1, (5.15) consistă din n-1 ecuații cu derivate parțiale, ceea ce exprimă faptul că, dacă Ω⁽¹⁾ este integrabilă, soluțiile tuturor celor n-1 sisteme de ecuații diferențiale, corepunzătoare celor n-1 alegeri posibile ale vectorilor A^(q),. se află pe o suprafață f₁=const. Deci cele n-1 ecuații cu derivate parțiale trebuie să admită o soluție comună dacă 1-forma este integrabilă. Dacă sistemul de 1-forme diferențiale conține p=n-1 ecuatii, el e totdeauna integrabil(vezi paragraful precedent); corespunzător, avem o singură (n-p=1) ecuație liniară cu derivate parțiale, care are totdeauna n-1 soluții independente (acestea sunt n-1 integrale prime independente ale sistemului de ecuații diferențiale (5.13)).

Reciproc, să presupunem că sistemul (5.15) admite p soluții independente f_k(x),k=1,..p. Prin definiția (5.12) a lui A^(q)_i(x) printre soluțiile sistemului liniar (5.12) se numără vectorii formați din coeficienții a^(k)_j(x) (k=1,...,p; j=1,...,n) ale formelor (5.1). Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f_l/∂x_j;

$a_{i}^{(k)}=\sum _{l=1}^{p}\alpha _{l}^{(k)}{\frac {\partial f_{l}}{\partial x_{i}}}\qquad k=1,..,p\qquad (5.16)$

cu coeficienți α^(k)_l depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil.

Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a completitudinii (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale.

Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.Jacobi că: un sistem de ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale este complet dacă și numai dacă este închis față de operația de comutare a operatorilor L^(q), adică pentru orice funcție netedă f și orice 1≤q1, q2≤n-p :

$(L^{(q_{1})}L^{(q_{2})}-L^{(q_{2})}L^{(q_{1})})f=\sum _{q=1}^{n-p}b_{q}(\mathbf {x} )L^{(q)}f\qquad \qquad (5.17)\,$

unde b_q(x) sunt funcții netede de x . Uneori această condiție de închidere este trecută tot sub numele de „condiția lui Frobenius“.

Este ușor de arătat că ecuația (5.17) este echivalentă cu condiția lui Frobenius (5.9) din paragraful precedent. Pentru aceasta, este suficient să calculăm explicit comutatorul din (5.17):

$(L^{(q_{1})}L^{(q_{2})}-L^{(q_{2})}L^{(q_{1})})f=\sum _{i,j}(A_{i}^{(q_{1})}{\frac {\partial A_{j}^{(q_{2})}}{\partial x_{i}}}-A_{i}^{(q_{2})}{\frac {\partial A_{j}^{(q_{1})}}{\partial x_{i}}}){\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\equiv \sum _{j}C_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.\qquad (5.18)\,$

Dacă (5.17) are loc, atunci vectorul C cu componente C_j, definite în (5.18), trebuie să fie o combinație liniară a vectorilor A^(q), q=1,...n-p și deci verifică:

$\sum _{j}C_{j}a_{j}^{(r)}=0,\qquad r=1,...,p;\qquad \qquad (5.19)\,$

deoarece A^(q) îndeplinesc (5.12); derivând (5.12) față de x_i, deducem că, pentru orice i=1,...n :

$\sum _{j}{\frac {\partial A_{j}^{(q)}}{\partial x_{i}}}a_{j}^{(r)}(x)=-\sum _{j}A_{j}^{(q)}(x){\frac {\partial a_{j}^{(r)}}{\partial x_{i}}}.\qquad (5.20)\,$

Substituind pe C_j(x), definit de (5.18) în egalitatea (5.19) și folosind (5.20) obținem (rebotezând unii indici):

$\sum _{i,j}({\frac {\partial a_{j}^{(r)}(x)}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial a_{i}^{(r)}(x)}{\partial x_{j}}})A_{i}^{(q_{1})}A_{j}^{(q_{2})}=0,\qquad r=1,...,p.\qquad (5.21)\,$

Dar acum e ușor de văzut că, dacă această egalitate are loc pentru vectorii A^(q₁),A^(q₂), ea are loc pentru orice pereche de combinații liniare ale lor; mai mult, putem să înlocuim coeficienții a^(r)_i și cu combinații liniare ale lor (față de r) cu coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15).

Remarci istorice

Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o (hiper)suprafață, dar aceasta nu este posibil decât dacă anumite condiții de integrabilitate sunt satisfăcute (vezi §2). Necesitatea (vezi §2)acestor condiții a fost recunoscută de la început, desigur de J.F.Pfaff (1765-1825) (după care 1-formele sunt adesea numite) dar suficiența lor a fost demonstrată pentru prima oară de F.Deahna în 1840, și pentru sisteme de forme diferențiale (vezi §4). Metoda lui de construcție a suprafețelor integrale e cea descrisă în text.

Chiar dacă Ω nu este integrabilă, numărul ei de termeni poate totuși, la schimbări de coordonate judicioase, să scadă: de exemplu, astfel incât Ω să poata fi prezentată ca o sumă de două diferențiale totale, cu coeficienți depinzând de x. "Problema lui Pfaff” constă în determinarea, pentru o formă Ω dată, a numărului minim de diferențiale totale a căror sumă o poate reprezenta (cu coeficienți dependenți de x), și în determinarea transformărilor de coordonate care duc la această prezentare. Evident, stabilirea condițiilor de integrabilitate a formelor diferențiale este inclusă în această chestiune. Problema a fost lamurită prin lucrările lui C.G.Jacobi, L.Natani, A.Clebsch, G.F.Frobenius și G.Darboux. Lucrarea lui A.Clebsch din 1866 stabilește condiția de închidere (5.17) drept necesară și suficientă pentru ca sistemul de n-p ecuații cu derivate parțiale (5.15 ) să admită p soluții independente. Într-un articol amplu în 1877, Frobenius recapitulează (foarte clar de citit!) lucrările predecesorilor, stabilește echivalența lor, formuleaza condițiile de integrabilitate in forma prezentată aici (ecuațiile (3.4),(5.9)) și precizează cazurile posibile care apar în soluția problemei lui Pfaff. În același an, G.Darboux dă o soluție mai rapidă, dar similară ca spirit, problemei lui Pfaff.

În prezentările moderne ale mecanicii clasice, care pornesc de la invarianții integrali ai lui Poincaré o formă specială a teoremei lui Darboux din lucrarea joacă un rol central(vezi de exemplu manualele , .

În 1909, Carathéodory a prezentat o formulare geometrică a termodinamicii, în care conținutul principiului al doilea este în bună măsură redus la afirmația că forma diferențială reprezentând cantitatea de căldură schimbată de un sistem fizic cu exteriorul are proprietatea remarcabilă de a fi integrabilă (§2.3). Analiza echilibrului termic între sisteme fizice duce la identificarea factorului integrand cu temperatura absolută. Modul acesta de privire a fost adoptat numai treptat de fizicieni (Max Born a fost un promotor important al lui, iar mai târziu trebuie citat H.A.Buchdahl).Faptul că factorul integrand al cantității de căldură are o interpretare atât de simplă face ca problemele legate de forme diferențiale să poată fi evitate în aplicațiile practice ale termodinamicii, pentru care condițiile (1.6) pentru diferențiale totale se dovedesc a fi suficiente.

Prezentările moderne ale teoremei lui Frobenius utilizează metodele formelor diferențiale, introduse în geometrie în jurul lui 1900 de Élie Cartan. Referințe standard, folosite în acest articol sunt cărțile lui Henri Cartan și Vladimir Arnold.

Bibliografie

• R.Abraham, J.E.Marsden, Foundations of mechanics, W.A.Benjamin, Inc., New York, Amsterdam 1967
• V.I.Arnold, Metodele matematice ale mecanicii clasice, Editura științifică și enciclopedică, București (1980)
• V.I.Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Springer,1988, ISBN-3-540-96649-8
• M.Born, Natural philosophy of cause and chance, Waynflete lectures 1948, Oxford University Press (1949)
• H.A.Buchdahl, Integrability conditions and Carathéodory's theorem, American J.of Physics, 21(1953)182
• C.Carathéodory, Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik, Math.Annalen, 67(1909)363
• H.Cartan, Formes différentieles, Hermann, Paris (1967) ISBN-3-411-01443-1
• A.Clebsch, Über das Pfaff'sche Problem, Journal f.die reine u. angewandte Mathematik (Crelle)60(1862)193, 61(1863)146
• A.Clebsch, Über die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen, Journal f.die reine u. Angewandte Mathematik (Crelle),65(1866)257
• G.Darboux, Sur le problème de Pfaff, Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques (2)6(1882) 14-36, 49-68
• F.Deahna, Über die Bedingungen der Integrabilität linearer Diferentialgleichungen erster Ordnung zwischen einer beliebigen Anzahl veränderlicher Größen, Journal f.die reine u. angewandte Mathematik (Crelle),28 (1840)340
• G.F.Frobenius, Über das Pfaff'sche Problem, Journal f.die reine u. angewandte Mathematik (Crelle), 82(1877)230
• A.Haimovici, Ecuații diferențiale și ecuații integrale, Editura didactică și pedagogică, București, (1965)
• A.Halanay, Ecuații diferențiale, Editura didactică și Pedagogică, București (1972)
• H.v.Helmholtz, Berliner Berichte, 6 März 1884
• L.Natani, Über totale und partielle Differentialgleichungen, Journal f.die reine u. angewandte Mathematik (Crelle), 58 (1861)301
• Max Planck, Über die Begründung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, Sitz.Berichte der Preuss.Akademie der Wiss., Phys-Math.Kl (1926)453